O roteiro de um filme de ação requer que um pequeno carro esporte com massa M e
comprimento d acelere ao longo de uma barcaça de massa 4 M e comprimento D, de uma extremidade à outra da embarcação, e salte para um cais cujo nível fica um pouco abaixo do da superfície da barcaça. No momento em que o carro entra em movimento, o sistema está parado com a barcaça está encostada no cais, sua superficie fica horizontal o tempo todo que o carro acelera e pode-se desprezar a resistência da água ao movimento da barcaça. Calcule em termos dos dados qual será a distância \Delta x entre a barcaça e o cais no momento do salto.
Escolha uma:
\bigcirc \Delta x=\frac{D}{4}
\bigcirc \Delta x=\frac{D-d}{5}
\bigcirc \Delta x=\frac{D-d}{4}
\bigcirc \Delta x=\frac{D+d}{4} \mathbf{x}
\bigcirc \Delta x=\frac{D+d}{5}
A resposta correta é: \Delta x=\frac{D-d}{5}.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a distância \Delta x entre a barcaça e o cais no momento em que o carro salta, em termos dos dados M, d, 4M e D. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Massa do carro: M.
  • Comprimento do carro: d.
  • Massa da barcaça: 4M.
  • Comprimento da barcaça: D.
  • Inicialmente o sistema está parado e a barcaça está encostada no cais (sem folga).
  • A superfície da barcaça permanece horizontal o tempo todo.
  • Pode-se desprezar a resistência da água ao movimento da barcaça (logo, nenhuma força horizontal externa efetiva).
  • O carro se desloca da extremidade esquerda da barcaça até a extremidade direita (isto é, percorre, relativo à barcaça, uma distância D-d).
    O objetivo final é obter \Delta x em função de D e d.

Passo 2

Motivação do método e conceito necessário (explicado passo a passo):
  • Como não há forças horizontais externas significativas (desprezamos resistência da água e, depois que a barcaça se afasta do cais, o cais não exerce força horizontal), a posição horizontal do centro de massa do sistema “carro + barcaça” permanece constante durante o movimento do carro.
  • Definição do centro de massa em uma dimensão: para duas massas m_1 e m_2 com posições x_1 e x_2 ao longo do eixo x, a posição do centro de massa é
x_{\text{cm}}=\frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1+m_2}.
Aqui usaremos essa fórmula para o sistema com massas M e 4M. Manter o centro de massa fixo nos dá uma equação que relaciona as posições iniciais e finais das massas, o que nos permitirá achar \Delta x.

Passo 3

Escolha de coordenadas e posições iniciais:
  • Coloco a origem x=0 exatamente onde a borda esquerda da barcaça está encostada no cais inicialmente (ou seja, a aresta da barcaça coincide com o cais).
  • Assim, inicialmente a aresta esquerda da barcaça está em x=0. A barcaça tem comprimento D, logo o centro da barcaça inicial está em
x_{\text{barcaça,i}}=\frac{D}{2}.ç
  • O carro está inicialmente encostado na borda esquerda da barcaça, com comprimento d. O centro do carro inicial fica em
x_{\text{carro,i}}=\frac{d}{2}.
  • Calculamos a posição inicial do centro de massa do sistema usando a fórmula:
x_{\text{cm,i}}=\frac{M\cdot x_{\text{carro,i}} + 4M\cdot x_{\text{barcaça,i}}}{M+4M}.ç
Substituindo x_{\text{carro,i}}=\dfrac{d}{2} e x_{\text{barcaça,i}}=\dfrac{D}{2}ç e cancelando M,
x_{\text{cm,i}}=\frac{\dfrac{d}{2} + 4\cdot \dfrac{D}{2}}{5}=\frac{d+4D}{10}.

Passo 4

Posições finais em função de \Delta x:
  • Quando o carro chega à extremidade direita da barcaça, a barcaça terá recuado para a esquerda de modo que haverá uma folga \Delta x entre a borda esquerda da barcaça e o cais. Assim a posição da aresta esquerda da barcaça no instante final é x=-\Delta x.
  • A posição do centro da barcaça no final é então
x_{\text{barcaça,f}} = -\Delta x + \frac{D}{2}.ç
  • O carro, estando na extremidade direita da barcaça, ocupa do ponto x=-\Delta x + D - d até x=-\Delta x + D; o centro do carro final fica em
x_{\text{carro,f}} = -\Delta x + D - \frac{d}{2}.

Passo 5

Aplicar conservação da posição do centro de massa e resolver para \Delta x:
  • Igualamos o centro de massa inicial ao final:
x_{\text{cm,i}} = x_{\text{cm,f}}.
  • Escrevendo o lado direito usando a fórmula do centro de massa final:
x_{\text{cm,f}}=\frac{M\cdot x_{\text{carro,f}} + 4M\cdot x_{\text{barcaça,f}}}{5M}=\frac{x_{\text{carro,f}} + 4\,x_{\text{barcaça,f}}}{5}.çç
  • Substituindo x_{\text{carro,f}} = -\Delta x + D - \dfrac{d}{2} e x_{\text{barcaça,f}} = -\Delta x + \dfrac{D}{2}ç:
x_{\text{cm,f}}=\frac{\bigl(-\Delta x + D - \dfrac{d}{2}\bigr) + 4\bigl(-\Delta x + \dfrac{D}{2}\bigr)}{5}.
  • Simplificamos o numerador:
\begin{aligned} &\bigl(-\Delta x + D - \dfrac{d}{2}\bigr) + 4\bigl(-\Delta x + \dfrac{D}{2}\bigr) \\\ &= -\Delta x + D - \dfrac{d}{2} -4\Delta x + 2D \\\ &= -5\Delta x + 3D - \dfrac{d}{2}. \end{aligned}
Portanto
x_{\text{cm,f}}=\frac{-5\Delta x + 3D - \dfrac{d}{2}}{5}.
  • Igualando a x_{\text{cm,i}}=\dfrac{d+4D}{10}:
\frac{d+4D}{10} = \frac{-5\Delta x + 3D - \dfrac{d}{2}}{5}.
  • Multiplicando ambos os lados por 10 para eliminar denominadores:
d+4D = 2\bigl(-5\Delta x + 3D - \tfrac{d}{2}\bigr).
  • Expandindo o lado direito:
d+4D = -10\Delta x + 6D - d.
  • Isolando \Delta x:
-10\Delta x = d+4D -6D + d = 2d -2D,
\Delta x = \frac{2D - 2d}{10} = \frac{D-d}{5}.
  • Verificação rápida de sinal/sentido: se D>d (barcaça maior que o carro), \Delta x>0 como esperado — a barcaça de fato se afasta do cais.

Resposta

\displaystyle \Delta x=\frac{D-d}{5}

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