O roteiro de um filme de ação requer que um pequeno carro esporte com massa
e
comprimento
acelere ao longo de uma barcaça de massa
e comprimento
, de uma extremidade à outra da embarcação, e salte para um cais cujo nível fica um pouco abaixo do da superfície da barcaça. No momento em que o carro entra em movimento, o sistema está parado com a barcaça está encostada no cais, sua superficie fica horizontal o tempo todo que o carro acelera e pode-se desprezar a resistência da água ao movimento da barcaça. Calcule em termos dos dados qual será a distância
entre a barcaça e o cais no momento do salto.
Escolha uma:
A resposta correta é:
.
comprimento
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a distância
entre a barcaça e o cais no momento em que o carro salta, em termos dos dados
,
,
e
. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Massa do carro:
. - Comprimento do carro:
. - Massa da barcaça:
. - Comprimento da barcaça:
. - Inicialmente o sistema está parado e a barcaça está encostada no cais (sem folga).
- A superfície da barcaça permanece horizontal o tempo todo.
- Pode-se desprezar a resistência da água ao movimento da barcaça (logo, nenhuma força horizontal externa efetiva).
- O carro se desloca da extremidade esquerda da barcaça até a extremidade direita (isto é, percorre, relativo à barcaça, uma distância
).
O objetivo final é obterem função de e .
Passo 2
Motivação do método e conceito necessário (explicado passo a passo):
- Como não há forças horizontais externas significativas (desprezamos resistência da água e, depois que a barcaça se afasta do cais, o cais não exerce força horizontal), a posição horizontal do centro de massa do sistema “carro + barcaça” permanece constante durante o movimento do carro.
- Definição do centro de massa em uma dimensão: para duas massas
e com posições e ao longo do eixo , a posição do centro de massa é
Aqui usaremos essa fórmula para o sistema com massas
e
. Manter o centro de massa fixo nos dá uma equação que relaciona as posições iniciais e finais das massas, o que nos permitirá achar
.
Passo 3
Escolha de coordenadas e posições iniciais:
- Coloco a origem
exatamente onde a borda esquerda da barcaça está encostada no cais inicialmente (ou seja, a aresta da barcaça coincide com o cais). - Assim, inicialmente a aresta esquerda da barcaça está em
. A barcaça tem comprimento , logo o centro da barcaça inicial está em
- O carro está inicialmente encostado na borda esquerda da barcaça, com comprimento
. O centro do carro inicial fica em
- Calculamos a posição inicial do centro de massa do sistema usando a fórmula:
Substituindo
e
e cancelando
,
Passo 4
Posições finais em função de
:
- Quando o carro chega à extremidade direita da barcaça, a barcaça terá recuado para a esquerda de modo que haverá uma folga
entre a borda esquerda da barcaça e o cais. Assim a posição da aresta esquerda da barcaça no instante final é . - A posição do centro da barcaça no final é então
- O carro, estando na extremidade direita da barcaça, ocupa do ponto
até ; o centro do carro final fica em
Passo 5
Aplicar conservação da posição do centro de massa e resolver para
:
- Igualamos o centro de massa inicial ao final:
- Escrevendo o lado direito usando a fórmula do centro de massa final:
- Substituindo
e :
- Simplificamos o numerador:
Portanto
- Igualando a
:
- Multiplicando ambos os lados por
para eliminar denominadores:
- Expandindo o lado direito:
- Isolando
:
- Verificação rápida de sinal/sentido: se
(barcaça maior que o carro), como esperado — a barcaça de fato se afasta do cais.