Um objeto de massa
pode se mover ao longo do eixo
sujeito a uma força
, onde
,
e
são constantes não-negativas. A respeito do movimento subsequente deste objeto são realizadas as seguintes afirmativas:
I. Trata-se de um movimento harmônico amortecido e forçado. Como há amortecimento, para
, a amplitude do movimento é limitada e não há frequência de ressonância.
II. Se
,
e
, o regime de amortecimento é crítico ou supercrítico e não haverá oscilações no regime estacionário.
III. A amplitude das oscilações só depende da constante de amortecimento
no regime transiente. No regime estacionário, o movimento é dominado devido à presença do termo
na expressão da força
e o amortecimento sempre pode ser desprezado.
IV. Quando
e
, o objeto oscilará atenuadamente em torno da posição de equilíbrio, que é deslocada da origem em
.
São verdadeiras:
Escolha uma opção:
Somente (I), (II) e (III).
Somente (I) e (II).
Nenhuma.
Somente (III) e (IV).
Somente a (III).
Somente (II) e (IV).
Todas.
I. Trata-se de um movimento harmônico amortecido e forçado. Como há amortecimento, para
II. Se
III. A amplitude das oscilações só depende da constante de amortecimento
IV. Quando
Escolha uma opção:
Passo 1
O enunciado dá a força aplicada ao longo do eixo
:
com
massa,
e pede que verifiquemos as afirmações I, II, III e IV abaixo. As afirmativas são:
I. Trata-se de um movimento harmônico amortecido e forçado. Como há amortecimento, para
, a amplitude do movimento é limitada e não há frequência de ressonância.
II. Se
,
e
, o regime de amortecimento é crítico ou supercrítico e não haverá oscilações no regime estacionário.
III. A amplitude das oscilações só depende da constante de amortecimento
no regime transiente. No regime estacionário, o movimento é dominado devido à presença do termo
na expressão da força
e o amortecimento sempre pode ser desprezado.
IV. Quando
,
e
, o objeto oscilará atenuadamente em torno da posição de equilíbrio, que é deslocada da origem em
.
O que nos pedem: analisar cada uma das quatro afirmativas e escolher quais são verdadeiras.
Passo 2
Escrevemos a equação do movimento dividindo por
:
Explicação didática do que isso significa:
-
é a aceleração. -
é o termo de amortecimento proporcional à velocidade, com controlando a taxa de amortecimento. -
é o termo restaurador (como uma mola) que tenta trazer de volta a zero. -
é a força externa periódica que “dirige” o sistema com frequência e amplitude .
Solução geral: soma da solução homogênea (regime transiente) e de uma solução particular (regime estacionário/forçado):
Homogênea: solução de
Equação característica:
com raízes
Três regimes (explico cada um):
- Subamortecido (
): raízes complexas com parte real negativa , a solução homogênea oscila com amplitude decrescente como . Ou seja, oscilações atenuadas no transiente. - Criticamente amortecido (
): dupla raiz real negativa, não há oscilações; o transiente decai sem oscilar. - Sobreamortecido (
): duas raízes reais negativas distintas, decaimento sem oscilações.
Particular (regime estacionário) para força
: busca-se solução na forma
onde a amplitude
é
Comentários sobre essa fórmula:
- Denominador nunca é zero se
, então é finita. - Ainda assim
pode ter um máximo em função de (um pico, chamado comumente de ressonância atenuada); a frequência do máximo depende de e .
Passo 3
Análise da afirmativa I:
- Primeira frase: “Trata-se de um movimento harmônico amortecido e forçado.” → correto: é exatamente um oscilador harmônico com amortecimento e força externa periódica.
- Segunda frase: “Como há amortecimento, para
, a amplitude do movimento é limitada e não há frequência de ressonância.” → meio-verdade/erro: é verdade que para a amplitude é finita (não diverge). Porém a afirmação “não há frequência de ressonância” é incorreta no sentido usual: com amortecimento existe uma frequência de excitação que maximiza (resonância atenuada), embora o pico seja finito e deslocado de . Portanto a segunda frase está errada se entendemos “frequência de ressonância” como frequência do máximo de amplitude. Conclusão: a afirmativa I tem parte correta e parte falsa; no seu enunciado global ela deve ser considerada falsa.
Passo 4
Análise da afirmativa II:
- Diz: se
, e , então não haverá oscilações no regime estacionário. - Explicação:
refere-se ao comportamento do transiente (homogênea): crítico ou sobreamortecido → o transiente não oscila. Contudo o regime estacionário é dado pela solução particular, que para é um movimento periódico na frequência , independente de o sistema ser crítico ou sobreamortecido. Ou seja, mesmo com amortecimento grande, se existe força periódica com haverá oscilação forçada no regime estacionário (talvez de pequena amplitude, mas existe). Portanto a afirmativa II é falsa.
Passo 5
Análise da afirmativa III:
- Primeira frase: “A amplitude das oscilações só depende da constante de amortecimento
no regime transiente.” → incorreta: a forma do decaimento (taxa exponencial) envolve (por exemplo o fator no caso subamortecido), então o amortecimento influencia o decaimento, mas a amplitude inicial do transiente depende também das condições iniciais (posição e velocidade iniciais) e de . Logo não “só depende” de . Portanto essa parte é falsa. - Segunda frase: “No regime estacionário, o movimento é dominado devido à presença do termo
na expressão da força e o amortecimento sempre pode ser desprezado.” → incorreta: no regime estacionário o movimento é realmente dominado pela solução particular (ou seja, oscila na frequência ), mas o amortecimento influi diretamente na amplitude e na defasagem ; não se pode afirmar que o amortecimento “sempre pode ser desprezado”. Para grande o amortecimento reduz fortemente a amplitude. Portanto esta parte também é falsa. - Conclusão: a afirmativa III é falsa.
Passo 6
Análise da afirmativa IV:
- Condições:
, , . - Quando
a força aplicada é constante: . A equação fica
- Solução estacionária particular é uma posição constante (equilíbrio) dada por
ou seja o equilíbrio está deslocado da origem
.
- Se
(subamortecido), o transiente homogêneo é um decaimento oscilatório (fator multiplicando um cosseno/seno). Portanto o corpo oscilará atenuadamente em torno de . Isso coincide exatamente com a afirmativa IV. Conclusão: IV é verdadeira.
Passo 7
Resumo final das quatro afirmativas:
- I: contém erro (a parte que nega totalmente a existência de frequência de ressonância é equivocada) → falsa.
- II: falsa (regime estacionário continua a ter oscilações se
). - III: falsa (transiente não depende “só” de
; amortecimento nem sempre desprezável no regime estacionário). - IV: verdadeira.
Resposta
Somente (IV)