Um objeto de massa m pode se mover ao longo do eixo \mathcal{O} x sujeito a uma força F_{x}=F_{0} \cos (\Omega t)-\gamma m \dot{x}-m \omega^{2} x, onde \Omega, \omega e \gamma são constantes não-negativas. A respeito do movimento subsequente deste objeto são realizadas as seguintes afirmativas:
I. Trata-se de um movimento harmônico amortecido e forçado. Como há amortecimento, para \gamma \neq 0, a amplitude do movimento é limitada e não há frequência de ressonância.
II. Se \gamma \geq 2 \omega, \Omega \neq 0 e F_{0} \neq 0, o regime de amortecimento é crítico ou supercrítico e não haverá oscilações no regime estacionário.
III. A amplitude das oscilações só depende da constante de amortecimento \gamma no regime transiente. No regime estacionário, o movimento é dominado devido à presença do termo F_{0} \cos (\Omega t) na expressão da força F_{x} e o amortecimento sempre pode ser desprezado.
IV. Quando \Omega=0, \gamma<2 \omega e F_{0} \neq 0, o objeto oscilará atenuadamente em torno da posição de equilíbrio, que é deslocada da origem em x=0.
São verdadeiras:
Escolha uma opção:
\bigcirc Somente (I), (II) e (III).
\bigcirc Somente (I) e (II).
\bigcirc Nenhuma.
\bigcirc Somente (III) e (IV).
\bigcirc Somente a (III).
\bigcirc Somente (II) e (IV).
\bigcirc Todas.

Passo 1

O enunciado dá a força aplicada ao longo do eixo \mathcal{O}x:
F_x = F_0 \cos(\Omega t) - \gamma m \dot{x} - m \omega^2 x,
com m massa, \Omega,\omega,\gamma \ge 0 e pede que verifiquemos as afirmações I, II, III e IV abaixo. As afirmativas são:
I. Trata-se de um movimento harmônico amortecido e forçado. Como há amortecimento, para \gamma \neq 0, a amplitude do movimento é limitada e não há frequência de ressonância.
II. Se \gamma \ge 2\omega, \Omega \neq 0 e F_0 \neq 0, o regime de amortecimento é crítico ou supercrítico e não haverá oscilações no regime estacionário.
III. A amplitude das oscilações só depende da constante de amortecimento \gamma no regime transiente. No regime estacionário, o movimento é dominado devido à presença do termo F_0\cos(\Omega t) na expressão da força F_x e o amortecimento sempre pode ser desprezado.
IV. Quando \Omega=0, \gamma<2\omega e F_0\neq 0, o objeto oscilará atenuadamente em torno da posição de equilíbrio, que é deslocada da origem em x=0.
O que nos pedem: analisar cada uma das quatro afirmativas e escolher quais são verdadeiras.

Passo 2

Escrevemos a equação do movimento dividindo por m:
\ddot{x} + \gamma \dot{x} + \omega^2 x = \frac{F_0}{m}\cos(\Omega t).
Explicação didática do que isso significa:
  • \ddot{x} é a aceleração.
  • \gamma\dot{x} é o termo de amortecimento proporcional à velocidade, com \gamma controlando a taxa de amortecimento.
  • \omega^2 x é o termo restaurador (como uma mola) que tenta trazer x de volta a zero.
  • \dfrac{F_0}{m}\cos(\Omega t) é a força externa periódica que “dirige” o sistema com frequência \Omega e amplitude F_0/m.
Solução geral: soma da solução homogênea (regime transiente) e de uma solução particular (regime estacionário/forçado):
x(t) = x_{\text{trans}}(t) + x_{\text{part}}(t).
Homogênea: solução de
\ddot{x} + \gamma \dot{x} + \omega^2 x = 0.
Equação característica:
r^2 + \gamma r + \omega^2 = 0,
com raízes
r = \frac{-\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - 4\omega^2}}{2}.
Três regimes (explico cada um):
  • Subamortecido ( \gamma<2\omega): raízes complexas com parte real negativa -\gamma/2, a solução homogênea oscila com amplitude decrescente como e^{-\gamma t/2}. Ou seja, oscilações atenuadas no transiente.
  • Criticamente amortecido ( \gamma=2\omega): dupla raiz real negativa, não há oscilações; o transiente decai sem oscilar.
  • Sobreamortecido ( \gamma>2\omega): duas raízes reais negativas distintas, decaimento sem oscilações.
Particular (regime estacionário) para força \dfrac{F_0}{m}\cos(\Omega t): busca-se solução na forma
x_{\text{part}}(t) = A(\Omega)\cos(\Omega t - \varphi(\Omega)),
onde a amplitude A(\Omega) é
A(\Omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega^2 - \Omega^2)^2 + (\gamma\Omega)^2}}.
Comentários sobre essa fórmula:
  • Denominador nunca é zero se \gamma\neq 0, então A(\Omega) é finita.
  • Ainda assim A(\Omega) pode ter um máximo em função de \Omega (um pico, chamado comumente de ressonância atenuada); a frequência do máximo depende de \omega e \gamma.

Passo 3

Análise da afirmativa I:
  • Primeira frase: “Trata-se de um movimento harmônico amortecido e forçado.” → correto: é exatamente um oscilador harmônico com amortecimento e força externa periódica.
  • Segunda frase: “Como há amortecimento, para \gamma\neq 0, a amplitude do movimento é limitada e não há frequência de ressonância.” → meio-verdade/erro: é verdade que para \gamma\neq 0 a amplitude A(\Omega) é finita (não diverge). Porém a afirmação “não há frequência de ressonância” é incorreta no sentido usual: com amortecimento existe uma frequência de excitação \Omega que maximiza A(\Omega) (resonância atenuada), embora o pico seja finito e deslocado de \omega. Portanto a segunda frase está errada se entendemos “frequência de ressonância” como frequência do máximo de amplitude. Conclusão: a afirmativa I tem parte correta e parte falsa; no seu enunciado global ela deve ser considerada falsa.

Passo 4

Análise da afirmativa II:
  • Diz: se \gamma\ge 2\omega, \Omega\neq 0 e F_0\neq 0, então não haverá oscilações no regime estacionário.
  • Explicação: \gamma\ge 2\omega refere-se ao comportamento do transiente (homogênea): crítico ou sobreamortecido → o transiente não oscila. Contudo o regime estacionário é dado pela solução particular, que para \Omega\neq 0 é um movimento periódico na frequência \Omega, independente de o sistema ser crítico ou sobreamortecido. Ou seja, mesmo com amortecimento grande, se existe força periódica com \Omega\neq 0 haverá oscilação forçada no regime estacionário (talvez de pequena amplitude, mas existe). Portanto a afirmativa II é falsa.

Passo 5

Análise da afirmativa III:
  • Primeira frase: “A amplitude das oscilações só depende da constante de amortecimento \gamma no regime transiente.” → incorreta: a forma do decaimento (taxa exponencial) envolve \gamma (por exemplo o fator e^{-\gamma t/2} no caso subamortecido), então o amortecimento influencia o decaimento, mas a amplitude inicial do transiente depende também das condições iniciais (posição e velocidade iniciais) e de \omega. Logo não “só depende” de \gamma. Portanto essa parte é falsa.
  • Segunda frase: “No regime estacionário, o movimento é dominado devido à presença do termo F_0\cos(\Omega t) na expressão da força F_x e o amortecimento sempre pode ser desprezado.” → incorreta: no regime estacionário o movimento é realmente dominado pela solução particular (ou seja, oscila na frequência \Omega), mas o amortecimento \gamma influi diretamente na amplitude A(\Omega) e na defasagem \varphi(\Omega); não se pode afirmar que o amortecimento “sempre pode ser desprezado”. Para \gamma grande o amortecimento reduz fortemente a amplitude. Portanto esta parte também é falsa.
  • Conclusão: a afirmativa III é falsa.

Passo 6

Análise da afirmativa IV:
  • Condições: \Omega=0, \gamma<2\omega, F_0\neq 0.
  • Quando \Omega=0 a força aplicada é constante: F_0\cos(0\cdot t)=F_0. A equação fica
\ddot{x} + \gamma\dot{x} + \omega^2 x = \frac{F_0}{m}.
  • Solução estacionária particular é uma posição constante (equilíbrio) dada por
x_{\text{eq}} = \frac{F_0/m}{\omega^2} = \frac{F_0}{m\omega^2},
ou seja o equilíbrio está deslocado da origem x=0.
  • Se \gamma<2\omega (subamortecido), o transiente homogêneo é um decaimento oscilatório (fator e^{-\gamma t/2} multiplicando um cosseno/seno). Portanto o corpo oscilará atenuadamente em torno de x_{\text{eq}}. Isso coincide exatamente com a afirmativa IV. Conclusão: IV é verdadeira.

Passo 7

Resumo final das quatro afirmativas:
  • I: contém erro (a parte que nega totalmente a existência de frequência de ressonância é equivocada) → falsa.
  • II: falsa (regime estacionário continua a ter oscilações se \Omega\neq 0).
  • III: falsa (transiente não depende “só” de \gamma; amortecimento nem sempre desprezável no regime estacionário).
  • IV: verdadeira.

Resposta

Somente (IV)

Exercícios relacionados