Se a energia de um bloco em OHS é quadruplicada, o que ocorre com a velocidade máxima e a amplitude do movimento?
Escolha uma opção:
\bigcirc a. Ambas quadruplicam.
\bigcirc b. Ambas duplicam.
\bigcirc c. A velocidade duplica e a amplitude quadruplica.
\bigcirc d. A velocidade duplica e a amplitude permanece constante.
\bigcirc e. A velocidade quadruplica e a amplitude duplica.

Passo 1

O enunciado diz que a energia de um bloco em OHS foi quadruplicada. As perguntas são: o que acontece com a velocidade máxima e o que acontece com a amplitude do movimento? Informações dadas: a energia inicial é \!E e passa a ser \!4E.

Passo 2

Vamos reunir as fórmulas que ligam energia, amplitude e velocidade máxima — eu explico cada uma com calma.
A posição de máxima elongação (amplitude) é onde toda a energia é potencial elástica. A energia total do movimento (energia mecânica) num OHS sem atrito é constante e vale, em termos da amplitude \!A,
E=\frac{1}{2}kA^{2},
onde \!k é a constante elástica da mola e \!A é a amplitude (o máximo deslocamento em relação ao equilíbrio). Explicando: a energia potencial elástica é \frac{1}{2}kx^{2}; no extremo x=A essa energia é máxima e igual à energia total E.
Outra relação útil é entre velocidade máxima e amplitude. A velocidade máxima ocorre ao passar pelo ponto de equilíbrio, onde a energia é toda cinética:
E=\frac{1}{2}m v_{\max}^{2},
onde \!m é a massa e \!v_{\max} é a velocidade máxima. Assim, combinando com E=\tfrac{1}{2}kA^{2} obtemos
\frac{1}{2}m v_{\max}^{2}=\frac{1}{2}kA^{2}\quad\Rightarrow\quad v_{\max}=\sqrt{\frac{k}{m}}\,A.
O fator \!\sqrt{\frac{k}{m}} é a frequência angular \!\omega, então a forma comum é
v_{\max}=\omega A.
Resumo das dependências importantes: E\propto A^{2} e v_{\max}\propto A (com \!\omega constante).

Passo 3

Agora aplicamos o efeito de quadruplicar a energia sobre a amplitude. Se E vai para E'=4E, então
\frac{1}{2}kA'^{2}=4\left(\frac{1}{2}kA^{2}\right).
Cancelando \tfrac{1}{2}k dos dois lados obtemos
A'^{2}=4A^{2}\quad\Rightarrow\quad A'=2A,
ou seja, a amplitude dobra. (Escolhemos a raiz positiva porque amplitude é um valor positivo de comprimento.)

Passo 4

Agora a velocidade máxima. Usando v_{\max}=\omega A e lembrando que \!\omega=\sqrt{k/m} não muda (pois k e m não foram alterados), temos
v'_{\max}=\omega A'=\omega(2A)=2(\omega A)=2v_{\max}.
Portanto, a velocidade máxima também dobra.
Alternativa equivalente: a partir de E=\tfrac{1}{2}m v_{\max}^{2}, se E'\!=\!4E segue
\frac{1}{2}m v'_{\max}{}^{2}=4\left(\frac{1}{2}m v_{\max}^{2}\right)\Rightarrow v'_{\max}{}^{2}=4v_{\max}^{2}\Rightarrow v'_{\max}=2v_{\max},
mesma conclusão.

Passo 5

Um exemplo numérico rápido para fixar: escolha \!m=1\\ \mathrm{kg}, \!k=1\\ \mathrm{N/m}, \!A=1\\ \mathrm{m}. Então \!E=\tfrac{1}{2}\cdot1\cdot1^{2}=0{,}5\\ \mathrm{J} e \!v_{\max}=\sqrt{k/m}\,A=1\\ \mathrm{m/s}. Se \!E vira 4E=2\\ \mathrm{J}, então \!A'=2\\ \mathrm{m} e \!v'_{\max}=2\\ \mathrm{m/s}. Isso mostra concretamente: ambas dobram.

Resposta

b. Ambas duplicam.

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