Um pêndulo de torção, é formado por uma barra uniforme de momento de inércia I_{\mathrm{cm}}=M L^{2} / 12, onde M é a massa e L é o comprimento. A barra é suspensa pelo centro de massa num fio de constante torcional k. Podemos afirmar que a frequência angular de oscilação é:
Escolha uma opção: \bigcirc a. \omega=\frac{2}{L} \sqrt{\frac{3 k}{M}} \bigcirc b. \omega=\frac{M L k}{12 g} \bigcirc c. \omega=\frac{1}{3 L} \sqrt{\frac{k}{3 M}} \bigcirc d. \omega=\frac{1}{2} \frac{L}{g} \bigcirc e. \omega=\sqrt{\frac{g}{12 L}}
Passo 1
O enunciado dá uma barra uniforme com momento de inércia em relação ao centro de massa \displaystyle I_{\mathrm{cm}}=\frac{M L^{2}}{12}. A barra está suspensa pelo centro de massa por um fio com constante torsional k. Pergunta-se qual é a frequência angular de oscilação \omega do sistema, e apresenta cinco alternativas (a) a (e). Informações relevantes do enunciado:
\displaystyle I_{\mathrm{cm}}=\frac{M L^{2}}{12} (dado da barra uniforme);
fio com constante torsional k (torque restaurador proporcional ao deslocamento angular);
o que se pede: a expressão de \omega (frequência angular) em função das grandezas M, L e k.
Passo 2
Vamos entender a dinâmica do sistema (passo-a-passo, devagar, sem pânico). Quando a barra é girada um pequeno ângulo \theta em relação à posição de equilíbrio, o fio exerce um torque restaurador proporcional a \theta. Escrevemos essa relação como (essa é a lei do fio torcional):
\tau = -k \theta,
onde \tau é o torque (o sinal negativo significa que o torque tende a restaurar \theta para zero) e k é a constante torsional do fio. Aqui \theta é o deslocamento angular (medido em radianos).
Passo 3
A equação do movimento rotacional é a análoga à segunda lei de Newton, mas para rotações:
I \,\alpha = \tau,
onde I é o momento de inércia do corpo em torno do eixo de rotação e \alpha é a aceleração angular, ou seja \alpha=\ddot{\theta} (segunda derivada temporal de \theta). Substituindo \tau=-k\theta obtemos:
I\,\ddot{\theta} = -k \theta.
Passo 4
Rearranjando, temos a equação diferencial padrão de oscilador harmônico angular:
\ddot{\theta} + \frac{k}{I}\,\theta = 0.
Comparando com a forma padrão \ddot{\theta}+\omega^{2}\theta=0, identificamos a frequência angular ao quadrado:
\omega^{2}=\frac{k}{I}.
Portanto
\omega=\sqrt{\frac{k}{I}}.
Isso é fundamental: para um pêndulo de torção, a frequência angular depende da constante torsional dividida pelo momento de inércia.
Passo 5
Agora substituímos o momento de inércia dado no enunciado: \displaystyle I_{\mathrm{cm}}=\frac{M L^{2}}{12}. Colocando isso em \omega: