Um pêndulo de torção, é formado por uma barra uniforme de momento de inércia I_{\mathrm{cm}}=M L^{2} / 12, onde M é a massa e L é o comprimento. A barra é suspensa pelo centro de massa num fio de constante torcional k. Podemos afirmar que a frequência angular de oscilação é:
Escolha uma opção:
\bigcirc a. \omega=\frac{2}{L} \sqrt{\frac{3 k}{M}}
\bigcirc b. \omega=\frac{M L k}{12 g}
\bigcirc c. \omega=\frac{1}{3 L} \sqrt{\frac{k}{3 M}}
\bigcirc d. \omega=\frac{1}{2} \frac{L}{g}
\bigcirc e. \omega=\sqrt{\frac{g}{12 L}}

Passo 1

O enunciado dá uma barra uniforme com momento de inércia em relação ao centro de massa \displaystyle I_{\mathrm{cm}}=\frac{M L^{2}}{12}. A barra está suspensa pelo centro de massa por um fio com constante torsional k. Pergunta-se qual é a frequência angular de oscilação \omega do sistema, e apresenta cinco alternativas (a) a (e). Informações relevantes do enunciado:
  • \displaystyle I_{\mathrm{cm}}=\frac{M L^{2}}{12} (dado da barra uniforme);
  • fio com constante torsional k (torque restaurador proporcional ao deslocamento angular);
  • o que se pede: a expressão de \omega (frequência angular) em função das grandezas M, L e k.

Passo 2

Vamos entender a dinâmica do sistema (passo-a-passo, devagar, sem pânico). Quando a barra é girada um pequeno ângulo \theta em relação à posição de equilíbrio, o fio exerce um torque restaurador proporcional a \theta. Escrevemos essa relação como (essa é a lei do fio torcional):
\tau = -k \theta,
onde \tau é o torque (o sinal negativo significa que o torque tende a restaurar \theta para zero) e k é a constante torsional do fio. Aqui \theta é o deslocamento angular (medido em radianos).

Passo 3

A equação do movimento rotacional é a análoga à segunda lei de Newton, mas para rotações:
I \,\alpha = \tau,
onde I é o momento de inércia do corpo em torno do eixo de rotação e \alpha é a aceleração angular, ou seja \alpha=\ddot{\theta} (segunda derivada temporal de \theta). Substituindo \tau=-k\theta obtemos:
I\,\ddot{\theta} = -k \theta.

Passo 4

Rearranjando, temos a equação diferencial padrão de oscilador harmônico angular:
\ddot{\theta} + \frac{k}{I}\,\theta = 0.
Comparando com a forma padrão \ddot{\theta}+\omega^{2}\theta=0, identificamos a frequência angular ao quadrado:
\omega^{2}=\frac{k}{I}.
Portanto
\omega=\sqrt{\frac{k}{I}}.
Isso é fundamental: para um pêndulo de torção, a frequência angular depende da constante torsional dividida pelo momento de inércia.

Passo 5

Agora substituímos o momento de inércia dado no enunciado: \displaystyle I_{\mathrm{cm}}=\frac{M L^{2}}{12}. Colocando isso em \omega:
\omega=\sqrt{\frac{k}{I_{\mathrm{cm}}}}=\sqrt{\frac{k}{\dfrac{M L^{2}}{12}}}.

Passo 6

Simplificamos a expressão passo a passo (tranquilo, sem calculadora):
\omega=\sqrt{\frac{k}{\dfrac{M L^{2}}{12}}}=\sqrt{\frac{12k}{M L^{2}}}.
Podemos separar L^{2} fora da raiz como L no denominador:
\omega=\sqrt{\frac{12k}{M}}\cdot\frac{1}{L}.
Escrevendo \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}, obtemos
\omega=\frac{2\sqrt{3}}{L}\sqrt{\frac{k}{M}}.

Passo 7

Agora comparamos com as alternativas fornecidas. A alternativa (a) é
\omega=\frac{2}{L}\sqrt{\frac{3k}{M}},
que, ao reorganizar, é exatamente
\omega=\frac{2}{L}\sqrt{3}\sqrt{\frac{k}{M}}=\frac{2\sqrt{3}}{L}\sqrt{\frac{k}{M}},
ou seja, coincide com a expressão que encontramos. As demais alternativas não coincidem com essa forma.

Resposta

(a)

Exercícios relacionados