Um objeto, com 1,2 \mathrm{~cm} de altura, está colocado a 4 cm da lente biconvexa. A lente delgada biconvexa e feita em vidro de indice de refração 1,5 , tem os raios de curvatura com os valores de 10 cm e 15 cm . Localizar a imagem, dizer se é real ou virtual e achar a sua altura.

Passo 1

O enunciado pede que eu localize a imagem formada por uma lente biconvexa, determine se a imagem é real ou virtual e calcule a sua altura. As informações dadas são:
  • altura do objeto: h_o = 1{,}2\\ \mathrm{cm};
  • posição do objeto em relação à lente: d_o = 4\\ \mathrm{cm} (objeto colocado à esquerda da lente);
  • índice de refração do vidro da lente: n = 1{,}5;
  • raios de curvatura das faces da lente: R_1 = 10\\ \mathrm{cm} e R_2 = 15\\ \mathrm{cm}.
    Observação sobre a figura: como não foi enviada figura, estou assumindo a disposição usual: o objeto à esquerda da lente e a lente centrada, de modo que a primeira superfície tem raio R_1 com centro à direita da primeira superfície e a segunda superfície tem raio com centro à esquerda da segunda superfície (convexa para ambos os lados).

Passo 2

Vou achar primeiro a distância focal f da lente usando a fórmula das lentes delgadas (fórmula do fabricante de lentes), também chamada de fórmula do fabricante:
\frac{1}{f} = (n-1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right).
Explicando a fórmula: f é a distância focal da lente (medida a partir do centro óptico), n é o índice de refração do material da lente (a lente está em ar), R_1 e R_2 são os raios de curvatura das duas superfícies. A convenção de sinais que uso é a usual em óptica geométrica: um raio R é positivo se o centro de curvatura estiver à direita da superfície considerada (no sentido do eixo positivo, que eu considerei da esquerda para a direita). Para uma lente biconvexa com objeto à esquerda isso resulta em R_1=+10\\ \mathrm{cm} e R_2=-15\\ \mathrm{cm} (porque o centro de curvatura da segunda superfície fica à esquerda dessa superfície).
Substituindo os números:
\frac{1}{f} = (1{,}5-1)\left(\frac{1}{10} - \frac{1}{-15}\right) = 0{,}5\left(\frac{1}{10} + \frac{1}{15}\right).
Calculando a soma dentro do parêntese:
\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}.
Logo
\frac{1}{f} = 0{,}5\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{12}.
Portanto a distância focal é
f = 12\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Agora uso a equação da lente delgada para relacionar distância focal, distância do objeto e distância da imagem:
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i},
onde d_o é a distância do objeto (positiva se o objeto for real e estiver à esquerda da lente) e d_i é a distância da imagem (sinal conforme a convenção: d_i>0 se a imagem estiver à direita da lente — imagem real — e d_i<0 se estiver à esquerda — imagem virtual). Aqui temos d_o = 4\\ \mathrm{cm} e f = 12\\ \mathrm{cm}. Substituindo:
\frac{1}{12} = \frac{1}{4} + \frac{1}{d_i}.
Isolando \dfrac{1}{d_i}:
\frac{1}{d_i} = \frac{1}{12} - \frac{1}{4}.
Calculo os termos:
\frac{1}{4} = \frac{3}{12},
então
\frac{1}{d_i} = \frac{1}{12} - \frac{3}{12} = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}.
Assim
d_i = -6\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Interpretação do sinal de d_i: como d_i = -6\\ \mathrm{cm} (negativo), a imagem está do mesmo lado do objeto (lado esquerdo da lente) e, portanto, é uma imagem virtual. O valor numérico 6\\ \mathrm{cm} significa que a imagem está a 6\\ \mathrm{cm} da lente, no lado do objeto. Observe fisicamente: isso é esperado porque o objeto está dentro da distância focal ( d_o = 4\\ \mathrm{cm} < f = 12\\ \mathrm{cm}); para uma lente convergente, objeto dentro da focal gera imagem virtual, direita e aumentada.

Passo 5

Agora calculo a ampliação linear (magnificação) \,m, que relaciona altura da imagem h_i com altura do objeto h_o e também com as distâncias:
m = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{d_i}{d_o}.
Substituindo d_i = -6\\ \mathrm{cm} e d_o = 4\\ \mathrm{cm}:
m = -\frac{-6}{4} = \frac{6}{4} = 1{,}5.
O sinal positivo de m indica que a imagem é direita (não invertida) em relação ao objeto — consistente com imagem virtual. A magnitude 1{,}5 indica que a imagem é 1{,}5 vezes maior que o objeto.
Agora encontro a altura da imagem:
h_i = m\,h_o = 1{,}5 \times 1{,}2\\ \mathrm{cm} = 1{,}8\\ \mathrm{cm}.

Resposta

Imagem localizada a 6\\ \mathrm{cm} do lado do objeto (isto é, d_i=-6\\ \mathrm{cm}, imagem a 6\\ \mathrm{cm} à esquerda da lente).
Imagem virtual (e direita).
Altura da imagem: 1{,}8\\ \mathrm{cm}.

Exercícios relacionados