O indice de refração da água é 1,3 : Achar o ângulo de refração de um feixe de luz no ar e que atinge uma superficie de água sob um ángulo com a normal de \sim 3^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o ângulo de refração de um feixe de luz que vem do ar e incide sobre a superfície da água com um ângulo de cerca de \,3^\circ em relação à normal. Dados fornecidos e suposições claras:
\text{índice da água } n_{\text{água}} = 1,3.íáá
Vou assumir (como é usual) que o feixe vem do ar com índice aproximado
n_{\text{ar}} \approx 1,0.
Informação do enunciado: ângulo de incidência
\theta_1 \approx 3^\circ.
O que preciso achar: o ângulo de refração \theta_2 (o ângulo dentro da água, medido em relação à normal).

Passo 2

Apresento a lei que relaciona ângulo de incidência e de refração (explicação didática):
A lei que usamos é a seguinte (conservadora da component normal do vetor onda):
n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2.
Aqui:
  • n_1 é o índice do meio de onde a luz vem (aqui, o ar: n_1=n_{\text{ar}}),
  • \theta_1 é o ângulo de incidência medido em relação à normal (aqui \theta_1=3^\circ),
  • n_2 é o índice do meio para onde a luz vai (aqui, a água: n_2=n_{\text{água}}=1,3á),
  • \theta_2 é o ângulo de refração que queremos calcular.
    Comentário físico simples: se n_2>n_1 (meio mais denso), a luz se aproxima da normal, logo esperamos \theta_2<\theta_1.

Passo 3

Isolamos \theta_2 na lei de refração:
\sin\theta_2 = \frac{n_1}{n_2}\,\sin\theta_1.
Substituindo n_1=1,0, n_2=1,3 e \theta_1=3^\circ:
\sin\theta_2 = \frac{1,0}{1,3}\,\sin(3^\circ).

Passo 4

Agora vamos avaliar numericamente. Para ângulos pequenos (como 3^\circ) é prático converter para radianos e usar a aproximação \sin\theta \approx \theta (quando \theta está em radianos). Isso permite fazer a conta à mão com boa precisão:
Convertemos \theta_1 para radianos:
\theta_1 = 3^\circ = 3\cdot\frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{60} \approx 0,0523599\\ \text{rad}.
Usando \sin\theta_1 \approx \theta_1 (válido porque 3^\circ é pequeno), temos
\sin(3^\circ) \approx 0,0523599.
Agora
\sin\theta_2 \approx \frac{1,0}{1,3}\cdot 0,0523599 \approx 0,7692308\cdot 0,0523599 \approx 0,040277.

Passo 5

Como \sin\theta_2 \approx 0,040277 e \theta_2 é pequeno, podemos usar a inversa da aproximação (ou calcular o arco-seno): para pequenos valores \sin\theta \approx \theta (em radianos), então
\theta_2 \\ (\text{rad}) \approx 0,040277.
Convertendo de volta para graus:
\theta_2 \\ (\text{graus}) = 0,040277\cdot\frac{180}{\pi} \approx 0,040277\cdot 57,2958 \approx 2,3077^\circ.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem: como a água é mais refringente que o ar ( 1,3>1,0), o ângulo dentro da água ficou menor do que os 3^\circ de incidência, o que bate com a intuição física. A aproximação usada ( \sin\theta\approx\theta em radianos) é muito boa para 3^\circ; se quisermos maior precisão usaríamos uma calculadora para \arcsin, que daria essencialmente o mesmo resultado.

Resposta

\theta_2 \approx 2,31^\circ

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