6^{a} ) Um objeto de 6,0 \mathrm{~kg} descreve um movimento retilíneo uniformemente variado, cuja equação horária da posição é:
r(t)=-3+t+3 t^{2}
com rem metros e tem segundos. Com base nessa equação, determine a intensidade da força resultante que atua sobre o objeto.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
  • A massa do objeto é m=6{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • A equação horária da posição é r(t)=-3+t+3t^{2}, com r em metros e t em segundos.
    O que o problema pede: determinar a intensidade (ou seja, o módulo) da força resultante que atua sobre o objeto.

Passo 2

Conceitos essenciais (rápida revisão antes de calcular):
  • Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Em símbolos: \displaystyle v(t)=\frac{dr}{dt}.
    • Para polinômios, a derivada segue a regra: \dfrac{d}{dt}\big( c\,t^{n}\big)=c\,n\,t^{n-1}, onde c e n são constantes.
  • Aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo: \displaystyle a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}r}{dt^{2}}.
  • Segunda lei de Newton (forma escalar para módulo quando há uma direção de referência): \displaystyle \vec{F}_{\text{res}}=m\vec{a}. Assim, a intensidade (módulo) da força resultante é F=m\,|a|.
  • Unidades: posição em \mathrm{m}, tempo em \mathrm{s} → aceleração em \mathrm{m/s^{2}}; força em newtons, \mathrm{N}=\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Calcular a velocidade a partir de r(t). Aplicando a derivada termo a termo:
r(t)=-3+t+3t^{2}
v(t)=\frac{dr}{dt}=\frac{d}{dt}(-3)+\frac{d}{dt}(t)+\frac{d}{dt}(3t^{2}).
Derivadas:
  • \dfrac{d}{dt}(-3)=0,
  • \dfrac{d}{dt}(t)=1,
  • \dfrac{d}{dt}(3t^{2})=3\cdot 2t=6t.
    Portanto,
v(t)=1+6t.

Passo 4

Calcular a aceleração como derivada da velocidade:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}(1+6t)=0+6=6.
Logo a aceleração é constante e igual a \displaystyle a=6\\ \mathrm{m/s^{2}}. (Constante porque o termo de t^{2} na posição resultou em aceleração sem dependência de t.)

Passo 5

Aplicar a segunda lei de Newton para obter a intensidade da força resultante:
F=m\,|a|.
Substituindo os valores:
F=(6{,}0\\ \mathrm{kg})\times(6\\ \mathrm{m/s^{2}}).

Passo 6

Fazer a conta e escrever a unidade correta:
F=36\\ \mathrm{kg\cdot m/s^{2}}=36\\ \mathrm{N}.
Observação final curta: o sinal da aceleração (aqui positivo) indica sentido segundo o eixo adotado, mas como o enunciado pediu a intensidade, a resposta é o valor positivo 36\\ \mathrm{N}.

Resposta

36\\ \mathrm{N}

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