7^{\circ} ) Duas forças horizontais atuam sobre um corpo de 5,0 \mathrm{~kg}, que se move sobre um piso sem atrito. Uma das forças tem intensidade 16,0 \mathrm{~N} e atua para o norte. A outra força tem intensidade 12,0 \mathrm{~N} e atua formando um ângulo de 30^{\circ} ao sul do leste. Determine o módulo da aceleração do corpo.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Massa do corpo: m=5{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • Força 1: F_1=16{,}0\\ \mathrm{N} atuando para o norte.
  • Força 2: F_2=12{,}0\\ \mathrm{N} atuando a 30^\circ ao sul do leste.
  • Piso sem atrito (logo não há força de atrito horizontal).
    O enunciado pede: determinar o módulo da aceleração do corpo (ou seja, a=|\vec a|) resultante dessas duas forças.

Passo 2

Escolha de eixo e resolução em componentes (motivo: somar vetores é mais fácil componente a componente).
  • Adoto o eixo x voltado para o leste (positiva para leste).
  • Adoto o eixo y voltado para o norte (positiva para norte).
    Agora vou escrever as componentes de cada força nas direções x e y.

Passo 3

Componentes da primeira força F_1:
  • Como F_1 é puramente para o norte, suas componentes são
F_{1x}=0,\qquad F_{1y}=16{,}0\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Componentes da segunda força F_2 (ângulo 30^\circ ao sul do leste):
  • Projeção no eixo x (leste): F_{2x}=F_2\cos 30^\circ.
  • Projeção no eixo y (norte): como a força tem componente para o sul, F_{2y}=-F_2\sin 30^\circ.
    Usando valores trigonométricos conhecidos:
\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin 30^\circ=\frac{1}{2},
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F_{2x}=12{,}0\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\\ \mathrm{N}, \qquad F_{2y}=-12{,}0\cdot\frac{1}{2}=-6{,}0\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Somar as componentes para obter a força resultante \vec F_{net}:
F_{net,x}=F_{1x}+F_{2x}=0+6\sqrt{3}=6\sqrt{3}\\ \mathrm{N},
F_{net,y}=F_{1y}+F_{2y}=16{,}0+(-6{,}0)=10{,}0\\ \mathrm{N}.
Agora o módulo da força resultante é dado por Pitágoras:
|\vec F_{net}|=\sqrt{(F_{net,x})^2+(F_{net,y})^2} =\sqrt{(6\sqrt{3})^2+(10{,}0)^2} =\sqrt{108+100} =\sqrt{208} =4\sqrt{13}\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Aplicar a segunda lei de Newton para obter a aceleração:
  • A segunda lei diz \vec F_{net}=m\vec a. Em módulo isso dá
a=\frac{|\vec F_{net}|}{m}.
Substituindo o valor exato obtido para |\vec F_{net}| e m:
a=\frac{4\sqrt{13}}{5{,}0}\\ \mathrm{m/s^2}.
Se quiser uma aproximação decimal, \sqrt{13}\approx3{,}60555, então
a\approx\frac{4\times3{,}60555}{5{,}0}\approx2{,}8844\\ \mathrm{m/s^2}.

Resposta

a\approx2{,}88\\ \mathrm{m/s^2}

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