1. Um objeto de 3,0 \mathrm{~kg}, que se move com uma velocidade escalar de 8,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} no sentido positivo de um eixo x , sobre uma colisão elástica unidimensional com um objeto de massa M inicialmente em repouso. Após a colisão, o objeto de massa M tem uma velocidade escalar de 6,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} no sentido positivo de x . Qual é o valor da massa M?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a massa M do segundo objeto.
  • Massa do primeiro objeto: m_1 = 3,0\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial do primeiro objeto: u_1 = 8,0\\ \mathrm{m/s} no sentido positivo de x.
  • Massa do segundo objeto: m_2 = M (valor a determinar).
  • Velocidade inicial do segundo objeto: u_2 = 0\\ \mathrm{m/s} (em repouso).
  • Após colisão (colisão unidimensional elástica), o segundo objeto tem velocidade final v_2 = 6,0\\ \mathrm{m/s} no sentido positivo de x.
O que se pede: determinar M (ou seja, m_2).

Passo 2

Lembrete das leis que usamos numa colisão elástica unidimensional:
  • Conservação da quantidade de movimento (momentum):
m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2,
onde v_1 e v_2 são as velocidades finais de m_1 e m_2, respectivamente.
  • Conservação da energia cinética (porque a colisão é elástica):
\frac{1}{2}m_1 u_1^{2} + \frac{1}{2}m_2 u_2^{2} = \frac{1}{2}m_1 v_1^{2} + \frac{1}{2}m_2 v_2^{2}.
Explicação intuitiva: momentum é a “quantidade de movimento” total que não se perde, e energia cinética total também se mantém numa colisão elástica. Ambas as equações juntas permitem resolver as velocidades finais ou massas desconhecidas.

Passo 3

Substituir u_2=0 (segundo objeto em repouso) nas equações. A equação da conservação do momentum fica
m_1 u_1 = m_1 v_1 + m_2 v_2.
A equação da conservação da energia cinética, ao simplificar o fator \tfrac{1}{2}, fica
m_1 u_1^{2} = m_1 v_1^{2} + m_2 v_2^{2}.

Passo 4

Derivar uma relação entre v_1 e v_2 que simplifica a solução. Da equação do momentum isolamos
m_1(u_1 - v_1) = m_2 v_2. \tag{1}
Da equação da energia cinética temos
m_1(u_1^{2} - v_1^{2}) = m_2 v_2^{2}. \tag{2}
Fatorando u_1^{2}-v_1^{2}=(u_1 - v_1)(u_1 + v_1) e usando (1) em (2):
m_1(u_1 - v_1)(u_1 + v_1) = m_2 v_2^{2}
\Rightarrow \bigl(m_2 v_2\bigr)(u_1 + v_1) = m_2 v_2^{2}.
Se v_2 \neq 0 (aqui não é zero, foi dado v_2=6,0\\ \mathrm{m/s}), podemos dividir por m_2 v_2 e obter
u_1 + v_1 = v_2.
Portanto
v_1 = v_2 - u_1.
Esta é a versão da propriedade de “inversão da velocidade relativa” numa colisão elástica: a diferença de velocidades se inverte de sinal.

Passo 5

Agora substituímos v_1 = v_2 - u_1 na equação (1) para encontrar m_2:
m_1\bigl(u_1 - v_1\bigr) = m_2 v_2.
Calcular o termo u_1 - v_1:
u_1 - v_1 = u_1 - (v_2 - u_1) = 2u_1 - v_2.
Logo
m_2 = m_1\frac{2u_1 - v_2}{v_2}.

Passo 6

Substituir os valores numéricos (todos em TeX):
m_1 = 3,0\\ \mathrm{kg},\qquad u_1 = 8,0\\ \mathrm{m/s},\qquad v_2 = 6,0\\ \mathrm{m/s}.
Calcular
m_2 = 3,0\cdot\frac{2\cdot 8,0 - 6,0}{6,0} = 3,0\cdot\frac{16,0 - 6,0}{6,0} = 3,0\cdot\frac{10,0}{6,0}.
Fazendo as contas sem calculadora:
\frac{10,0}{6,0}=\frac{5}{3}\approx 1,666\ldots
m_2 = 3,0\cdot\frac{5}{3}=5,0\\ \mathrm{kg}.

Passo 7

Cheque rápido (para ganhar confiança): calcular v_1 e verificar conservação.
v_1 = v_2 - u_1 = 6,0 - 8,0 = -2,0\\ \mathrm{m/s}.
Momentum inicial: m_1 u_1 = 3,0\cdot 8,0 = 24,0\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Momentum final: m_1 v_1 + m_2 v_2 = 3,0\cdot(-2,0) + 5,0\cdot 6,0 = -6,0 + 30,0 = 24,0\\ \mathrm{kg\cdot m/s}. OK.
Energia cinética inicial: \tfrac{1}{2}m_1 u_1^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 3,0\cdot 8,0^{2} = 96,0\\ \mathrm{J}.
Energia cinética final: \tfrac{1}{2}\cdot 3,0\cdot(-2,0)^{2} + \tfrac{1}{2}\cdot 5,0\cdot 6,0^{2} = 6,0 + 90,0 = 96,0\\ \mathrm{J}. OK.

Resposta

5,0\\ \mathrm{kg}

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