Um objeto de 3,0 \mathrm{~kg}, que se move com uma velocidade escalar de 8,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} no sentido positivo de um eixo x , sobre uma colisão elástica unidimensional com um objeto de massa M inicialmente em repouso. Após a colisão, o objeto de massa M tem uma velocidade escalar de 6,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} no sentido positivo de x . Qual é o valor da massa M?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a massa M do segundo objeto.
Massa do primeiro objeto: m_1 = 3,0\\ \mathrm{kg}.
Velocidade inicial do primeiro objeto: u_1 = 8,0\\ \mathrm{m/s} no sentido positivo de x.
Massa do segundo objeto: m_2 = M (valor a determinar).
Velocidade inicial do segundo objeto: u_2 = 0\\ \mathrm{m/s} (em repouso).
Após colisão (colisão unidimensional elástica), o segundo objeto tem velocidade final v_2 = 6,0\\ \mathrm{m/s} no sentido positivo de x.
O que se pede: determinar M (ou seja, m_2).
Passo 2
Lembrete das leis que usamos numa colisão elástica unidimensional:
Conservação da quantidade de movimento (momentum):
m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2,
onde v_1 e v_2 são as velocidades finais de m_1 e m_2, respectivamente.
Conservação da energia cinética (porque a colisão é elástica):
Explicação intuitiva: momentum é a “quantidade de movimento” total que não se perde, e energia cinética total também se mantém numa colisão elástica. Ambas as equações juntas permitem resolver as velocidades finais ou massas desconhecidas.
Passo 3
Substituir u_2=0 (segundo objeto em repouso) nas equações. A equação da conservação do momentum fica
m_1 u_1 = m_1 v_1 + m_2 v_2.
A equação da conservação da energia cinética, ao simplificar o fator \tfrac{1}{2}, fica
m_1 u_1^{2} = m_1 v_1^{2} + m_2 v_2^{2}.
Passo 4
Derivar uma relação entre v_1 e v_2 que simplifica a solução. Da equação do momentum isolamos
m_1(u_1 - v_1) = m_2 v_2. \tag{1}
Da equação da energia cinética temos
m_1(u_1^{2} - v_1^{2}) = m_2 v_2^{2}. \tag{2}
Fatorando u_1^{2}-v_1^{2}=(u_1 - v_1)(u_1 + v_1) e usando (1) em (2):