1. Uma bola de aço de massa igual a 40,0 \mathrm{~kg} é solta de uma altura de 2,0 \mathrm{~m} sobre uma barra de aço horizontal. A bola é rebatida até uma altura de 1,60 \mathrm{~m}. a) Calcule o impulso comunicado para a bola durante a colisão. b) Sabendo que a bola permanece em contato com a barra durante 2,0 \mathrm{~ms}, calcule a força média exercida sobre a bola durante a colisão.
Resp.: a) 0,47 N.s; b) 237 N

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (copiei os números do enunciado):
  • Massa da bola: m=40,0\\ \mathrm{kg} (está escrito assim no enunciado).
  • Altura de soltura: h_1=2,0\\ \mathrm{m}.
  • Altura após o ressalto: h_2=1,60\\ \mathrm{m}.
  • Tempo de contato na colisão: \Delta t=2,0\\ \mathrm{ms}=2,0\times10^{-3}\\ \mathrm{s}.
  • Perguntas:
    (a) calcular o impulso comunicado à bola durante a colisão;
    (b) calcular a força média exercida sobre a bola durante a colisão.
Observação importante sobre unidades e respostas: as respostas fornecidas pelo enunciado (a) 0,47\\ \mathrm{N\cdot s} e (b) 237\\ \mathrm{N} seriam obtidas se a massa fosse m=40,0\\ \mathrm{g}=0,040\\ \mathrm{kg}. Se usarmos m=40,0\\ \mathrm{kg} os resultados ficam 1000 vezes maiores. Para coincidir com as respostas indicadas, vou assumir que a massa correta é m=0,040\\ \mathrm{kg} (provável erro de unidade no enunciado) e seguir com essa massa.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Impulso: o impulso \mathbf{J} é a variação do momento linear (quantidade de movimento) da partícula. Em módulo (com sinal considerando direção) temos
\mathbf{J}=\Delta \mathbf{p}=m\mathbf{v}_{\text{após}}-m\mathbf{v}_{\text{antes}}.ó
Aqui é essencial escolher um sentido positivo. Vou escolher o sentido para cima como positivo. Assim, velocidade antes do impacto (queda) tem sinal negativo e velocidade após o impacto (subida) tem sinal positivo.
  • Conservação de energia durante a queda e durante a subida (antes e depois da colisão, respectivamente): desprezando resistência do ar, a energia potencial gravitacional mgh se transforma em energia cinética \tfrac{1}{2}mv^2. Assim, a velocidade em que a bola atinge a barra (imediatamente antes da colisão) vale
v_{\text{antes}}=-\sqrt{2gh_1},
o sinal negativo porque está para baixo. A velocidade imediatamente após a colisão (iniciando a subida até altura h_2) vale
v_{\text{após}}=+\sqrt{2gh_2},ó
sinal positivo porque sobe.
  • Força média durante a colisão: se a força média sobre a bola durante o contato é F_{\text{méd}}é e o tempo de contato é \Delta t, então
F_{\text{méd}}=\frac{J}{\Delta t},é
onde J é o impulso (considerando o mesmo sentido positivo usado para as velocidades).
Usarei g=9,80\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 3

Calcular as velocidades antes e depois da colisão usando as fórmulas de energia (vou mostrar passo a passo):
v_{\text{antes}}=-\sqrt{2 g h_1}=-\sqrt{2\cdot 9,80\cdot 2,0}=-\sqrt{39,2}.
Agora a raiz:
\sqrt{39,2}\approx 6,258\\ \mathrm{m/s},
logo
v_{\text{antes}}\approx -6,258\\ \mathrm{m/s}.
Para a velocidade após a colisão:
v_{\text{após}}=+\sqrt{2 g h_2}=+\sqrt{2\cdot 9,80\cdot 1,60}=+\sqrt{31,36}.ó
A raiz:
\sqrt{31,36}\approx 5,598\\ \mathrm{m/s},
portanto
v_{\text{após}}\approx +5,598\\ \mathrm{m/s}.ó

Passo 4

Calcular a variação de velocidade \Delta v e o impulso J. Lembre-se do sinal: com cima positivo,
\Delta v = v_{\text{após}}-v_{\text{antes}}=5,598-(-6,258)=5,598+6,258=11,856\\ \mathrm{m/s}.ó
Agora o impulso:
J=m\Delta v.
Adotando a massa corrigida para coincidir com as respostas indicadas,
m=0,040\\ \mathrm{kg},
logo
J=0,040\cdot 11,856=0,47424\\ \mathrm{N\cdot s}.
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas, compatível com os dados),
J\approx 0,47\\ \mathrm{N\cdot s}.

Passo 5

Calcular a força média usando F_{\text{méd}}=J/\Delta té. Temos \Delta t=2,0\\ \mathrm{ms}=2,0\times10^{-3}\\ \mathrm{s}. Assim,
F_{\text{méd}}=\frac{0,47424}{2,0\times10^{-3}}=237,12\\ \mathrm{N}.é
Arredondando conforme os dados,
F_{\text{méd}}\approx 237\\ \mathrm{N}.é

Passo 6

Breve verificação de consistência (para você ficar tranquilo): se tivesse usado a massa escrita no enunciado m=40,0\\ \mathrm{kg}, todos os números acima multiplicariam por 1000, dando J\approx 474\\ \mathrm{N\cdot s} e F_{\text{méd}}\approx 2,37\times10^{5}\\ \mathrm{N}é. Como as respostas fornecidas no enunciado são muito menores, a suposição m=0,040\\ \mathrm{kg} é a interpretação que torna tudo consistente.

Resposta

a) 0,47\\ \mathrm{N\cdot s}
b) 237\\ \mathrm{N}

Exercícios relacionados