- Um objeto com massa
, inicialmente em repouso, explode em dois fragmentos, um com massa
outro com massa
, onde
. a) Se a energia
é liberada na explosão, quanta energia cinética cada fragmento terá imediatamente após a colisão? b) Qual porcentagem de energia total liberada cada fragmento obtém quando um fragmento possui quatro vezes a massa do outro?
Passo 1
O enunciado dá uma massa total
, inicialmente em repouso que explode em dois fragmentos de massas
e
com
A energia liberada na explosão é
. As perguntas são:
(a) Qual a energia cinética imediata de cada fragmento em termos de ,
,
e
?
(b) Se um fragmento tem quatro vezes a massa do outro, que porcentagem da energia total cada fragmento obtém?
(a) Qual a energia cinética imediata de cada fragmento em termos de
(b) Se um fragmento tem quatro vezes a massa do outro, que porcentagem da energia total
Informações relevantes dadas:
- Massa total antes da explosão:
. - Massas dos fragmentos:
e com . - Energia liberada pela explosão:
. - O sistema estava inicialmente em repouso (momentum inicial zero).
- Queremos as energias cinéticas imediatamente após a explosão.
Passo 2
Princípios físicos que vamos usar (explicados de forma simples):
- Conservação do momento linear: como não há impulso externo (explosão interna), o momento total antes e depois se conserva. Momento linear é a massa vezes a velocidade; como o sistema estava em repouso, o momento inicial é zero. Portanto o momento total dos fragmentos logo após a explosão também é zero.
- A energia liberada
aparece como energia cinética dos fragmentos imediatamente após a explosão (assumimos que toda vira energia cinética dos dois fragmentos). Assim a soma das energias cinéticas é .
Vou definir as velocidades depois da explosão:
- velocidade do fragmento
: , - velocidade do fragmento
: .
Passo 3
Escrever a conservação do momento linear (direção positiva escolhida arbitrariamente):
Dessa equação segue que uma velocidade é oposta à outra. Resolvo para
em função de
:
Aqui o sinal menos só indica direções opostas; nas energias vamos usar os quadrados das velocidades.
Passo 4
Escrever a expressão para a energia cinética total imediatamente após a explosão. A energia cinética de cada fragmento é
massa vezes velocidade ao quadrado. Como a soma das energias cinéticas é
:
Agora substituímos
em função de
usando o resultado do passo anterior.
Passo 5
Substituindo
na expressão de
:
Como o quadrado remove o sinal negativo:
Simplificando o segundo termo:
Fatorando
:
Coloco o somatório de massas
para simplificar a expressão interna. Primeiro reescrevo o parêntese em fator comum
:
Portanto
Passo 6
Isolo
a partir da equação anterior:
Agora calculo a energia cinética do fragmento
:
Substituo
:
Cancelando
com 2 e
:
Passo 7
Faço o mesmo para o fragmento
(ou uso simetria). Pela simetria do processo, trocando índices
obteríamos
Como verificação rápida:
, conforme esperado.
Passo 8
Interpretação física simples (sem jargão): cada fragmento recebe uma fração da energia total proporcional à massa do outro fragmento. Isto significa que o fragmento mais leve recebe maior parte da energia cinética — intuitivo se pensar que, para anular o momento total, o fragmento leve precisa ter velocidade maior, então sua
pode ser grande.
Passo 9
Agora a parte (b): “quando um fragmento possui quatro vezes a massa do outro”. Escolho um caso sem perda de generalidade: suponha
. Então a massa total é
Usando as fórmulas:
Em porcentagem:
- fragmento com massa quatro vezes a do outro (o mais pesado) obtém
de , - fragmento mais leve obtém
de .
Obs.: se tivesse escolhido
as porcentagens simplesmente se inverteriam (o mais pesado sempre fica com
, o mais leve com
).
Resposta
(a)
\quad e \quad
(b) Fragmento mais pesado:
de
.
Fragmento mais leve: de
.
Fragmento mais leve: