1. Um objeto com massa m, inicialmente em repouso, explode em dois fragmentos, um com massa m_{A} e outro com massa m_{B}, onde m_{A}+m_{B}=m. a) Se a energia Q é liberada na explosão, quanta energia cinética cada fragmento terá imediatamente após a colisão? b) Qual porcentagem de energia total liberada cada fragmento obtém quando um fragmento possui quatro vezes a massa do outro?

Passo 1

O enunciado dá uma massa total \,m, inicialmente em repouso que explode em dois fragmentos de massas \,m_A e \,m_B com
m_A + m_B = m.
A energia liberada na explosão é \,Q. As perguntas são:
(a) Qual a energia cinética imediata de cada fragmento em termos de m_A, m_B, m e Q?
(b) Se um fragmento tem quatro vezes a massa do outro, que porcentagem da energia total Q cada fragmento obtém?
Informações relevantes dadas:
  • Massa total antes da explosão: \,m.
  • Massas dos fragmentos: \,m_A e \,m_B com \,m_A+m_B=m.
  • Energia liberada pela explosão: \,Q.
  • O sistema estava inicialmente em repouso (momentum inicial zero).
  • Queremos as energias cinéticas imediatamente após a explosão.

Passo 2

Princípios físicos que vamos usar (explicados de forma simples):
  1. Conservação do momento linear: como não há impulso externo (explosão interna), o momento total antes e depois se conserva. Momento linear é a massa vezes a velocidade; como o sistema estava em repouso, o momento inicial é zero. Portanto o momento total dos fragmentos logo após a explosão também é zero.
  2. A energia liberada Q aparece como energia cinética dos fragmentos imediatamente após a explosão (assumimos que toda Q vira energia cinética dos dois fragmentos). Assim a soma das energias cinéticas é Q.
Vou definir as velocidades depois da explosão:
  • velocidade do fragmento A: \,v_A,
  • velocidade do fragmento B: \,v_B.

Passo 3

Escrever a conservação do momento linear (direção positiva escolhida arbitrariamente):
m_A v_A + m_B v_B = 0.
Dessa equação segue que uma velocidade é oposta à outra. Resolvo para v_B em função de v_A:
v_B = -\frac{m_A}{m_B}\,v_A.
Aqui o sinal menos só indica direções opostas; nas energias vamos usar os quadrados das velocidades.

Passo 4

Escrever a expressão para a energia cinética total imediatamente após a explosão. A energia cinética de cada fragmento é \tfrac{1}{2} massa vezes velocidade ao quadrado. Como a soma das energias cinéticas é Q:
Q = \tfrac{1}{2}m_A v_A^2 + \tfrac{1}{2}m_B v_B^2.
Agora substituímos v_B em função de v_A usando o resultado do passo anterior.

Passo 5

Substituindo v_B = -\dfrac{m_A}{m_B}v_A na expressão de Q:
Q = \tfrac{1}{2}m_A v_A^2 + \tfrac{1}{2}m_B\left(-\frac{m_A}{m_B}v_A\right)^2.
Como o quadrado remove o sinal negativo:
Q = \tfrac{1}{2}m_A v_A^2 + \tfrac{1}{2}m_B\left(\frac{m_A^2}{m_B^2}v_A^2\right).
Simplificando o segundo termo:
Q = \tfrac{1}{2}m_A v_A^2 + \tfrac{1}{2}\frac{m_A^2}{m_B} v_A^2.
Fatorando \tfrac{1}{2}v_A^2:
Q = \tfrac{1}{2}v_A^2\left(m_A + \frac{m_A^2}{m_B}\right).
Coloco o somatório de massas \,m=m_A+m_B para simplificar a expressão interna. Primeiro reescrevo o parêntese em fator comum m_A:
m_A + \frac{m_A^2}{m_B} = m_A\left(1 + \frac{m_A}{m_B}\right) = m_A\left(\frac{m_B + m_A}{m_B}\right) = m_A\left(\frac{m}{m_B}\right).
Portanto
Q = \tfrac{1}{2}v_A^2 \cdot m_A\left(\frac{m}{m_B}\right).

Passo 6

Isolo v_A^2 a partir da equação anterior:
v_A^2 = \frac{2Q}{m_A}\cdot\frac{m_B}{m} = \frac{2Q m_B}{m_A m}.
Agora calculo a energia cinética do fragmento A:
K_A = \tfrac{1}{2} m_A v_A^2.
Substituo v_A^2:
K_A = \tfrac{1}{2} m_A \cdot \frac{2Q m_B}{m_A m}.
Cancelando \tfrac{1}{2} com 2 e m_A:
K_A = \frac{Q m_B}{m}.

Passo 7

Faço o mesmo para o fragmento B (ou uso simetria). Pela simetria do processo, trocando índices A\leftrightarrow B obteríamos
K_B = \frac{Q m_A}{m}.
Como verificação rápida: K_A+K_B = Q\left(\dfrac{m_B+m_A}{m}\right) = Q, conforme esperado.

Passo 8

Interpretação física simples (sem jargão): cada fragmento recebe uma fração da energia total proporcional à massa do outro fragmento. Isto significa que o fragmento mais leve recebe maior parte da energia cinética — intuitivo se pensar que, para anular o momento total, o fragmento leve precisa ter velocidade maior, então sua \tfrac{1}{2}mv^2 pode ser grande.

Passo 9

Agora a parte (b): “quando um fragmento possui quatro vezes a massa do outro”. Escolho um caso sem perda de generalidade: suponha \,m_A = 4 m_B. Então a massa total é
m = m_A + m_B = 4m_B + m_B = 5 m_B.
Usando as fórmulas:
K_A = \frac{Q m_B}{m} = \frac{Q m_B}{5 m_B} = \frac{Q}{5} = 0{,}2\,Q,
K_B = \frac{Q m_A}{m} = \frac{Q\cdot 4m_B}{5 m_B} = \frac{4Q}{5} = 0{,}8\,Q.
Em porcentagem:
  • fragmento com massa quatro vezes a do outro (o mais pesado) obtém 20\% de Q,
  • fragmento mais leve obtém 80\% de Q.
Obs.: se tivesse escolhido m_B = 4 m_A as porcentagens simplesmente se inverteriam (o mais pesado sempre fica com 20\%, o mais leve com 80\%).

Resposta

(a) K_A = \dfrac{Q\,m_B}{m} \quad e \quad K_B = \dfrac{Q\,m_A}{m}
(b) Fragmento mais pesado: 20\% de Q.
Fragmento mais leve: 80\% de Q.

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