Um objeto se move ao longo do eixo x de acordo com a equação
, onde
está em segundos. Determine (a) a velocidade média entre
e
, (b) a velocidade instantânea em
e
, (c) a aceleração média entre
e
, e (d) a aceleração instantânea em
e $t=3,00 s.
Passo 1
O enunciado fornece a posição do objeto ao longo do eixo
em função do tempo
(em segundos). Vou ler a função como
com
em segundos. O que nos pedem é:
(a) a velocidade média entre e
;
(b) a velocidade instantânea em e em
;
(c) a aceleração média entre e
;
(d) a aceleração instantânea em e em
.
(a) a velocidade média entre
(b) a velocidade instantânea em
(c) a aceleração média entre
(d) a aceleração instantânea em
Lista das informações relevantes:
Intervalo para médias:
e
.
Passo 2
Definição e cálculo da velocidade média. A velocidade média em um intervalo
é a variação de posição dividida pelo intervalo de tempo:
Vamos calcular
e
.
Cálculo de
:
Passo a passo:
somando:
Cálculo de
:
Passo a passo:
somando:
Agora a velocidade média entre
e
s:
Passo 3
Conceito de velocidade instantânea e derivação da função velocidade. A velocidade instantânea
é a derivada da posição em relação ao tempo:
Explicando a operação: derivar um polinômio do tipo
dá
. No nosso caso:
Derivando termo a termo:
Portanto a função velocidade é
Passo 4
Avaliação da velocidade instantânea em
e
. Substituímos na fórmula
.
Para
:
Para
:
Pequeno comentário didático: a velocidade instantânea é a inclinação da curva
no instante considerado; por isso usamos a derivada.
Passo 5
Definição e cálculo da aceleração média. A aceleração média em
é a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo:
Já temos
e
. Então
Passo 6
Aceleração instantânea: derivada da velocidade. A aceleração instantânea
é a derivada de
em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição:
Temos
. Derivando:
logo
Isso significa que a aceleração é constante e igual a
para todo
, portanto em
e em
temos
.
Resposta
(a)
(b) \
(c)
(d) \
(b)
(c)
(d)