Um objeto se move ao longo do eixo x de acordo com a equação x(t)=(3,00 t+2,00 t+3,00) m, onde t está em segundos. Determine (a) a velocidade média entre t=2,00 s e t=3,00 s, (b) a velocidade instantânea em t=2,00 s e t=3,00 s, (c) a aceleração média entre t=2,00 s e t=3,00 s, e (d) a aceleração instantânea em t=2,00 s e $t=3,00 s.

Passo 1

O enunciado fornece a posição do objeto ao longo do eixo x em função do tempo t (em segundos). Vou ler a função como
x(t)=3,00\,t^{2}+2,00\,t+3,00\quad\mathrm{m},
com t em segundos. O que nos pedem é:
(a) a velocidade média entre t=2,00\\ \mathrm{s} e t=3,00\\ \mathrm{s};
(b) a velocidade instantânea em t=2,00\\ \mathrm{s} e em t=3,00\\ \mathrm{s};
(c) a aceleração média entre t=2,00\\ \mathrm{s} e t=3,00\\ \mathrm{s};
(d) a aceleração instantânea em t=2,00\\ \mathrm{s} e em t=3,00\\ \mathrm{s}.
Lista das informações relevantes:
x(t)=3,00\,t^{2}+2,00\,t+3,00\\ \mathrm{m}.
Intervalo para médias: t_{1}=2{,}00\\ \mathrm{s} e t_{2}=3{,}00\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Definição e cálculo da velocidade média. A velocidade média em um intervalo [t_{1},t_{2}] é a variação de posição dividida pelo intervalo de tempo:
v_{\text{méd}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.é
Vamos calcular x(2{,}00) e x(3{,}00).
Cálculo de x(2{,}00):
x(2{,}00)=3{,}00\cdot(2{,}00)^{2}+2{,}00\cdot(2{,}00)+3{,}00.
Passo a passo:
(2{,}00)^{2}=4{,}00,
3{,}00\cdot4{,}00=12{,}00,
2{,}00\cdot2{,}00=4{,}00,
somando:
x(2{,}00)=12{,}00+4{,}00+3{,}00=19{,}00\\ \mathrm{m}.
Cálculo de x(3{,}00):
x(3{,}00)=3{,}00\cdot(3{,}00)^{2}+2{,}00\cdot(3{,}00)+3{,}00.
Passo a passo:
(3{,}00)^{2}=9{,}00,
3{,}00\cdot9{,}00=27{,}00,
2{,}00\cdot3{,}00=6{,}00,
somando:
x(3{,}00)=27{,}00+6{,}00+3{,}00=36{,}00\\ \mathrm{m}.
Agora a velocidade média entre 2{,}00 e 3{,}00 s:
\Delta x = x(3{,}00)-x(2{,}00)=36{,}00-19{,}00=17{,}00\\ \mathrm{m},
\Delta t=3{,}00-2{,}00=1{,}00\\ \mathrm{s},
v_{\text{méd}}=\frac{17{,}00\\ \mathrm{m}}{1{,}00\\ \mathrm{s}}=17{,}00\\ \mathrm{m/s}.é

Passo 3

Conceito de velocidade instantânea e derivação da função velocidade. A velocidade instantânea v(t) é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Explicando a operação: derivar um polinômio do tipo a\,t^{n} a\cdot n\,t^{n-1}. No nosso caso:
x(t)=3{,}00\,t^{2}+2{,}00\,t+3{,}00.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dt}\big(3{,}00\,t^{2}\big)=3{,}00\cdot2\,t=6{,}00\,t,
\frac{d}{dt}\big(2{,}00\,t\big)=2{,}00,
\frac{d}{dt}\big(3{,}00\big)=0.
Portanto a função velocidade é
v(t)=6{,}00\,t+2{,}00\quad\mathrm{m/s}.

Passo 4

Avaliação da velocidade instantânea em t=2{,}00\\ \mathrm{s} e t=3{,}00\\ \mathrm{s}. Substituímos na fórmula v(t)=6{,}00\,t+2{,}00.
Para t=2{,}00\\ \mathrm{s}:
v(2{,}00)=6{,}00\cdot2{,}00+2{,}00=12{,}00+2{,}00=14{,}00\\ \mathrm{m/s}.
Para t=3{,}00\\ \mathrm{s}:
v(3{,}00)=6{,}00\cdot3{,}00+2{,}00=18{,}00+2{,}00=20{,}00\\ \mathrm{m/s}.
Pequeno comentário didático: a velocidade instantânea é a inclinação da curva x(t) no instante considerado; por isso usamos a derivada.

Passo 5

Definição e cálculo da aceleração média. A aceleração média em [t_{1},t_{2}] é a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo:
\bar{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v(t_{2})-v(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
Já temos v(3{,}00)=20{,}00\\ \mathrm{m/s} e v(2{,}00)=14{,}00\\ \mathrm{m/s}. Então
\Delta v=20{,}00-14{,}00=6{,}00\\ \mathrm{m/s},
\Delta t=1{,}00\\ \mathrm{s},
\bar{a}=\frac{6{,}00\\ \mathrm{m/s}}{1{,}00\\ \mathrm{s}}=6{,}00\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Aceleração instantânea: derivada da velocidade. A aceleração instantânea a(t) é a derivada de v(t) em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Temos v(t)=6{,}00\,t+2{,}00. Derivando:
\frac{d}{dt}\big(6{,}00\,t\big)=6{,}00,\qquad \frac{d}{dt}(2{,}00)=0,
logo
a(t)=6{,}00\quad\mathrm{m/s^{2}}.
Isso significa que a aceleração é constante e igual a 6{,}00\\ \mathrm{m/s^{2}} para todo t, portanto em t=2{,}00\\ \mathrm{s} e em t=3{,}00\\ \mathrm{s} temos a=6{,}00\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

(a) 17{,}00\\ \mathrm{m/s}
(b) v(2{,}00)=14{,}00\\ \mathrm{m/s}\
v(3{,}00)=20{,}00\\ \mathrm{m/s}
(c) 6{,}00\\ \mathrm{m/s^{2}}
(d) a(2{,}00)=6{,}00\\ \mathrm{m/s^{2}}\
a(3{,}00)=6{,}00\\ \mathrm{m/s^{2}}

Exercícios relacionados