1. Um objeto se move ao longo de uma reta segundo a função posição s(t)=t^{2}+3 t metros, onde t é o tempo em segundos. Usando a definição de derivada, calcule a velocidade instantânea do objeto no instante t=2 segundos.

Passo 1

O enunciado dá a função posição s(t)=t^{2}+3t (metros), onde t é o tempo em segundos. Pede-se: usar a definição de derivada para calcular a velocidade instantânea do objeto no instante t=2 segundos.
Informações relevantes:
  • Posição: s(t)=t^{2}+3t.
  • Unidade da posição: metros.
  • Tempo t em segundos.
  • Queremos a velocidade instantânea em t=2 usando a definição de derivada (ou seja, o limite do quociente de variações).

Passo 2

Recordando a definição de derivada (que aqui corresponde à velocidade instantânea): para uma função s(t), a derivada em t é
s'(t)=\lim_{h\to0}\frac{s(t+h)-s(t)}{h},
onde h é um incremento pequeno no tempo. Esse limite, quando existe, dá a taxa de variação instantânea de s em relação a t. No contexto de movimento em linha, s'(t) é a velocidade instantânea v(t). Então usaremos
v(t)=\lim_{h\to0}\frac{s(t+h)-s(t)}{h}.

Passo 3

Calcular s(t+h). Substituímos t+h na expressão de s:
s(t+h)=(t+h)^{2}+3(t+h).
Agora expandimos os termos:
(t+h)^{2}=t^{2}+2th+h^{2},
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s(t+h)=t^{2}+2th+h^{2}+3t+3h.

Passo 4

Formar a diferença s(t+h)-s(t). Lembrando que s(t)=t^{2}+3t,
s(t+h)-s(t)=(t^{2}+2th+h^{2}+3t+3h)-(t^{2}+3t).
Cancelam-se t^{2} e 3t, restando
s(t+h)-s(t)=2th+h^{2}+3h.

Passo 5

Dividir por h e simplificar o quociente antes de tomar o limite:
\frac{s(t+h)-s(t)}{h}=\frac{2th+h^{2}+3h}{h}.
Fatorando h no numerador:
\frac{s(t+h)-s(t)}{h}=\frac{h(2t+h+3)}{h}=2t+h+3,
para h\neq0.

Passo 6

Agora tomamos o limite quando h\to0:
v(t)=\lim_{h\to0}(2t+h+3)=2t+3.
Portanto a derivada da posição (a velocidade instantânea) é a função
v(t)=2t+3 \quad\text{(metros por segundo).}

Passo 7

Avaliar a velocidade no instante t=2:
v(2)=2\cdot 2+3=4+3=7.
A unidade é metros por segundo, então a velocidade instantânea em t=2 é 7\\ \text{m/s}.
Comentário útil (rápido): se já soubesse a regra de derivação de polinômios, poderia obter s'(t) diretamente porque \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t e \dfrac{d}{dt}(3t)=3, chegando ao mesmo resultado v(t)=2t+3. Mas aqui usamos a definição de limite, como pediu.

Resposta

7\\ \text{m/s}

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