- Um objeto se move ao longo de uma reta segundo a função posição
metros, onde
é o tempo em segundos. Usando a definição de derivada, calcule a velocidade instantânea do objeto no instante
segundos.
Passo 1
O enunciado dá a função posição
(metros), onde
é o tempo em segundos. Pede-se: usar a definição de derivada para calcular a velocidade instantânea do objeto no instante
segundos.
Informações relevantes:
- Posição:
. - Unidade da posição: metros.
- Tempo
em segundos. - Queremos a velocidade instantânea em
usando a definição de derivada (ou seja, o limite do quociente de variações).
Passo 2
Recordando a definição de derivada (que aqui corresponde à velocidade instantânea): para uma função
, a derivada em
é
onde
é um incremento pequeno no tempo. Esse limite, quando existe, dá a taxa de variação instantânea de
em relação a
. No contexto de movimento em linha,
é a velocidade instantânea
. Então usaremos
Passo 3
Calcular
. Substituímos
na expressão de
:
Agora expandimos os termos:
logo
Passo 4
Formar a diferença
. Lembrando que
,
Cancelam-se
e
, restando
Passo 5
Dividir por
e simplificar o quociente antes de tomar o limite:
Fatorando
no numerador:
para
.
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
:
Portanto a derivada da posição (a velocidade instantânea) é a função
Passo 7
Avaliar a velocidade no instante
:
A unidade é metros por segundo, então a velocidade instantânea em
é
.
Comentário útil (rápido): se já soubesse a regra de derivação de polinômios, poderia obter
diretamente porque
e
, chegando ao mesmo resultado
. Mas aqui usamos a definição de limite, como pediu.