1. Escreva a definição de derivada de uma função f(x) no ponto x=a.

Passo 1

O enunciado pede uma definição precisa: escrever a definição de derivada de uma função f(x) no ponto x=a.
Não há outros dados numéricos: apenas é necessário apresentar a definição formal e explicar o que significam os símbolos usados.

Passo 2

Apresentar a definição mais comum. A derivada de f no ponto a, quando existe, é o limite do quociente diferencial quando o incremento tende a zero. Formalmente:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Aqui:
  • f é a função dada;
  • a é o ponto onde se quer a derivada;
  • h é um incremento real que se aproxima de 0;
  • f'(a) é o número limite (se existir) chamado derivada de f em a.

Passo 3

Explicando o que essa definição quer dizer, passo a passo:
  • O numerador f(a+h)-f(a) mede a variação da função quando o argumento passa de a para a+h.
  • O denominador h mede a variação do argumento.
  • O quociente \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} é, portanto, a “razão de variação média” (a inclinação da secante) entre a e a+h.
  • A derivada f'(a) é o limite dessas inclinações quando h fica cada vez menor, ou seja, quando a secante aproxima a reta tangente em a.

Passo 4

Forma equivalente usando x em vez de h. Se substituímos x=a+h, a definição pode ser escrita como
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Ambas as formas são matematicamente equivalentes; use a que for mais conveniente em cálculos.

Passo 5

Condições de existência e uma consequência importante:
  • O limite acima deve existir como número finito e ser o mesmo ao aproximar h por valores positivos e negativos (limites laterais iguais). Se isso não acontece, diz-se que f não é diferenciável em a.
  • Se f é diferenciável em a, então f é contínua em a. Demonstração curta: se f'(a) existe, então
\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}\bigl(f(a)+(x-a)\cdot\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\bigr)=f(a)+0\cdot f'(a)=f(a),
logo a continuidade segue.

Passo 6

Exemplo prático (para ver como aplicar a definição passo a passo): calcular a derivada de f(x)=x^{2} em um ponto a usando a definição.
Usando a forma com h:
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{(a+h)^{2}-a^{2}}{h}=\frac{a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}=\frac{2ah+h^{2}}{h}=2a+h.
Agora o limite quando h\to0 é
\lim_{h\to0}(2a+h)=2a.
Portanto f'(a)=2a. Isso mostra como substituir, simplificar e passar o limite.

Passo 7

Exemplo de função contínua mas não diferenciável: f(x)=|x| em a=0.
Calcular os quocientes pela direita e pela esquerda:
\lim_{h\to0^{+}}\frac{|0+h|-|0|}{h}=\lim_{h\to0^{+}}\frac{h}{h}=1,
\lim_{h\to0^{-}}\frac{|0+h|-|0|}{h}=\lim_{h\to0^{-}}\frac{-h}{h}=-1.
Os limites laterais são diferentes, logo o limite total não existe e f não é diferenciável em 0. Isso ilustra que continuidade não garante diferenciabilidade.

Passo 8

Anotações práticas para prova (dicas rápidas):
  • Sempre comece pela definição se pedirem derivada em um ponto sem indicar regras prontas.
  • Simplifique o quociente antes de tomar o limite (cancelar fatores h quando possível).
  • Verifique limites laterais quando a expressão ficar diferente para h>0 e h<0.
  • Use a forma \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} quando for mais natural trabalhar com x em vez de h.

Resposta

f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.

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