- Escreva a definição de derivada de uma função
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede uma definição precisa: escrever a definição de derivada de uma função
no ponto
.
Não há outros dados numéricos: apenas é necessário apresentar a definição formal e explicar o que significam os símbolos usados.
Não há outros dados numéricos: apenas é necessário apresentar a definição formal e explicar o que significam os símbolos usados.
Passo 2
Apresentar a definição mais comum. A derivada de
no ponto
, quando existe, é o limite do quociente diferencial quando o incremento tende a zero. Formalmente:
Aqui:
-
é a função dada; -
é o ponto onde se quer a derivada; -
é um incremento real que se aproxima de ; -
é o número limite (se existir) chamado derivada de em .
Passo 3
Explicando o que essa definição quer dizer, passo a passo:
- O numerador
mede a variação da função quando o argumento passa de para . - O denominador
mede a variação do argumento. - O quociente
é, portanto, a “razão de variação média” (a inclinação da secante) entre e . - A derivada
é o limite dessas inclinações quando fica cada vez menor, ou seja, quando a secante aproxima a reta tangente em .
Passo 4
Forma equivalente usando
em vez de
. Se substituímos
, a definição pode ser escrita como
Ambas as formas são matematicamente equivalentes; use a que for mais conveniente em cálculos.
Passo 5
Condições de existência e uma consequência importante:
- O limite acima deve existir como número finito e ser o mesmo ao aproximar
por valores positivos e negativos (limites laterais iguais). Se isso não acontece, diz-se que não é diferenciável em . - Se
é diferenciável em , então é contínua em . Demonstração curta: se existe, então
logo a continuidade segue.
Passo 6
Exemplo prático (para ver como aplicar a definição passo a passo): calcular a derivada de
em um ponto
usando a definição.
Usando a forma com :
Usando a forma com
Agora o limite quando
é
Portanto
. Isso mostra como substituir, simplificar e passar o limite.
Passo 7
Exemplo de função contínua mas não diferenciável:
em
.
Calcular os quocientes pela direita e pela esquerda:
Calcular os quocientes pela direita e pela esquerda:
Os limites laterais são diferentes, logo o limite total não existe e
não é diferenciável em
. Isso ilustra que continuidade não garante diferenciabilidade.
Passo 8
Anotações práticas para prova (dicas rápidas):
- Sempre comece pela definição se pedirem derivada em um ponto sem indicar regras prontas.
- Simplifique o quociente antes de tomar o limite (cancelar fatores
quando possível). - Verifique limites laterais quando a expressão ficar diferente para
e . - Use a forma
quando for mais natural trabalhar com em vez de .