Um objeto oscila com movimento harmônico simples ao longo do eixo x. Seu deslocamento em relação à origem varia no tempo de acordo com a expressão:
x=(4,00 m) cos (pi t+pi4)
onde t está em segundos a os ângulos de fase são medidos em radianos.
© Utilizando os resultados do item anterior, determine a posição, velocidade e aceleração do objeto em t=1,00 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de movimento harmônico simples (MHS). O enunciado nos dá a equação do deslocamento do objeto em relação ao tempo:
x = (4,00 , m) cos(pi t + pi4)
Aqui, $ t $ está em segundos e os ângulos estão em radianos. Nosso objetivo é encontrar a posição, a velocidade e a aceleração do objeto no instante $ t = 1{,}00 , \mathrm{s} $. Para isso, vamos utilizar conceitos básicos de cálculo aplicados ao movimento harmônico simples.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição do objeto em $ t = 1{,}00 , \mathrm{s} $. Isso é direto, basta substituir $ t $ na equação dada:
t = 1,00 , s
Calculando o argumento do cosseno:
t
Sabemos que:
x(1,00) = 4,00 , m cdot cos(pi cdot 1,00 + pi4)
Portanto:
pi cdot 1,00 + pi4 = 5pi4 , radianos

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade do objeto em $ t = 1{,}00 , \mathrm{s} $. A velocidade é a derivada do deslocamento em relação ao tempo:
t = 1,00 , s
Derivando a equação do deslocamento:
v(t) = dxdt
Substituindo $ t = 1{,}00 , \mathrm{s} $:
v(t) = -4,00 , m cdot pi cdot sin(pi t + pi4)
Sabemos que:
t = 1,00 , s
Portanto:
v(1,00) = -4,00 , m cdot pi cdot sin(5pi4)

Passo 4

Por fim, vamos determinar a aceleração do objeto em $ t = 1{,}00 , \mathrm{s} $. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo ou a segunda derivada do deslocamento:
t = 1,00 , s
Derivando a velocidade:
a(t) = dvdt = d^2xdt^2
Substituindo $ t = 1{,}00 , \mathrm{s} $:
a(t) = -4,00 , m cdot pi^2 cdot cos(pi t + pi4)
Sabemos que:
t = 1,00 , s
Portanto:
a(1,00) = -4,00 , m cdot pi^2 cdot cos(5pi4)

Resposta

Em $ t = 1{,}00 , \mathrm{s} $:
  • Posição: $ x = -2{,}83 , \mathrm{m} $
  • Velocidade: $ v \approx 5{,}66 , \mathrm{m/s} $
  • Aceleração: $ a \approx 27{,}96 , \mathrm{m/s^2} $

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