Um objeto oscila com movimento harmônico simples ao longo do eixo
. Seu deslocamento em relação à origem varia no tempo de acordo com a expressão:
onde
está em segundos a os ângulos de fase são medidos em radianos.
© Utilizando os resultados do item anterior, determine a posição, velocidade e aceleração do objeto em
.
© Utilizando os resultados do item anterior, determine a posição, velocidade e aceleração do objeto em
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de movimento harmônico simples (MHS). O enunciado nos dá a equação do deslocamento do objeto em relação ao tempo:
Aqui, $ t $ está em segundos e os ângulos estão em radianos. Nosso objetivo é encontrar a posição, a velocidade e a aceleração do objeto no instante $ t = 1{,}00 , \mathrm{s} $. Para isso, vamos utilizar conceitos básicos de cálculo aplicados ao movimento harmônico simples.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a posição do objeto em $ t = 1{,}00 , \mathrm{s} $. Isso é direto, basta substituir $ t $ na equação dada:
Calculando o argumento do cosseno:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a velocidade do objeto em $ t = 1{,}00 , \mathrm{s} $. A velocidade é a derivada do deslocamento em relação ao tempo:
Derivando a equação do deslocamento:
Substituindo $ t = 1{,}00 , \mathrm{s} $:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 4
Por fim, vamos determinar a aceleração do objeto em $ t = 1{,}00 , \mathrm{s} $. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo ou a segunda derivada do deslocamento:
Derivando a velocidade:
Substituindo $ t = 1{,}00 , \mathrm{s} $:
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
Em $ t = 1{,}00 , \mathrm{s} $:
- Posição: $ x = -2{,}83 , \mathrm{m} $
- Velocidade: $ v \approx 5{,}66 , \mathrm{m/s} $
- Aceleração: $ a \approx 27{,}96 , \mathrm{m/s^2} $