Admita que uma empresa de dispositivos eletrônicos lhe apresente um metal e peça para você determinar a energia de Fermi desse metal. Explique com detalhes como isso pode ser feito.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você recebeu um metal de uma empresa de dispositivos eletrônicos e precisa determinar a energia de Fermi desse metal. A energia de Fermi é um conceito da física quântica que descreve a energia máxima dos elétrons em um metal a temperatura zero. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de física de sólidos, como a densidade de elétrons e a relação entre energia e número de elétrons.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a densidade de elétrons $ n $ no metal. A densidade de elétrons é o número de elétrons por unidade de volume. Para encontrar $ n $, vamos usar a seguinte fórmula:
onde:
- $ N $ é o número total de elétrons,
- $ V $ é o volume do metal.
Se soubermos a concentração de elétrons por átomo e a densidade do metal, podemos calcular $ N $.
Passo 3
Agora que temos a densidade de elétrons $ n $, vamos utilizar a fórmula da energia de Fermi para um gás de elétrons livres:
onde:
- $ E_F $ é a energia de Fermi,
- $ \hbar $ é a constante reduzida de Planck,
- $ m $ é a massa efetiva do elétron no metal,
- $ n $ é a densidade de elétrons que calculamos no passo anterior.
Passo 4
Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula. Supondo que você tenha determinado $ n $, a massa do elétron $ m $ e conhece $ \hbar $, você pode calcular $ E_F $ da seguinte forma:
- Calcule $ 3\pi^2 n $.
- Eleve esse resultado a $ \frac{2}{3} $.
- Multiplique por $ \frac{\hbar^2}{2m} $.
Esse cálculo lhe dará a energia de Fermi do metal em questão.
Resposta
A energia de Fermi $ E_F $ do metal pode ser determinada pela fórmula:
onde $ n $ é a densidade de elétrons no metal.