Um objeto em repouso se fragmenta espontaneamente em duas partes que se movem em direções opostas. As partes têm massas repouso de 3 g e
e respectivas velocidades de
e
. Calcule a massa de repouso do corpo original. Resposta 11,66 g.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um objeto que está parado e se divide em duas partes que vão em direções opostas. As massas de repouso dessas partes são 3 g e 5,33 g, e elas estão se movendo a velocidades de
e
respectivamente. Nosso objetivo aqui é descobrir qual era a massa de repouso do objeto original antes de se fragmentar. Para resolver isso, vamos usar o Conservação do Momento na física, especialmente considerando a teoria da relatividade, já que as velocidades envolvidas são uma fração significativa da velocidade da luz
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento linear (
) de um objeto em movimento é dado pela fórmula:
onde:
-
é a massa de repouso, -
é a velocidade, -
é o fator de Lorentz, que é .
Como o objeto inicial estava em repouso, o momento total antes da fragmentação era zero. Após a fragmentação, os momentos das duas partes devem se cancelar para manter a conservação do momento.
Passo 3
Vamos calcular o fator de Lorentz (
) para cada uma das partes.
Para a primeira parte (
,
):
Para a segunda parte (
,
):
Passo 4
Agora, vamos calcular o momento de cada parte usando
.
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:
Note que um está indo para a direita e o outro para a esquerda, então seus momentos têm sinais opostos.
Passo 5
Como o momento total antes da fragmentação era zero, a soma dos momentos das duas partes também deve ser zero:
Substituindo os valores:
Isso confirma que a conservação do momento está mantida.
Passo 6
Agora, para encontrar a massa de repouso original (
), usamos a relação de energia total no sistema. A energia total antes da fragmentação é apenas a energia de repouso do objeto original:
Após a fragmentação, a energia é a soma das energias de repouso e das energias cinéticas das duas partes:
Como a energia total deve ser conservada:
Dividindo ambos os lados por
:
Substituindo os valores:
Resposta
A massa de repouso do corpo original é 11,66 g.