Um objeto em repouso se fragmenta espontaneamente em duas partes que se movem em direções opostas. As partes têm massas repouso de 3 g e 5,33 g e respectivas velocidades de 0,8 c e 0,6 c. Calcule a massa de repouso do corpo original. Resposta 11,66 g.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um objeto que está parado e se divide em duas partes que vão em direções opostas. As massas de repouso dessas partes são 3 g e 5,33 g, e elas estão se movendo a velocidades de 0,8c e 0,6c respectivamente. Nosso objetivo aqui é descobrir qual era a massa de repouso do objeto original antes de se fragmentar. Para resolver isso, vamos usar o Conservação do Momento na física, especialmente considerando a teoria da relatividade, já que as velocidades envolvidas são uma fração significativa da velocidade da luz c.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento linear ( p) de um objeto em movimento é dado pela fórmula:
p = gamma m v
onde:
  • m é a massa de repouso,
  • v é a velocidade,
  • gamma é o fator de Lorentz, que é gamma = 1raiz1 - v^2c^2.
Como o objeto inicial estava em repouso, o momento total antes da fragmentação era zero. Após a fragmentação, os momentos das duas partes devem se cancelar para manter a conservação do momento.

Passo 3

Vamos calcular o fator de Lorentz ( gamma) para cada uma das partes.
Para a primeira parte ( m1 = 3,g, v1 = 0,8c):
gamma1 = 1raiz1 - (0,8)^2 = 1raiz1 - 0,64 = 1raiz0,36 = 10,6 approx 1,6667
Para a segunda parte ( m2 = 5,33,g, v2 = 0,6c):
gamma2 = 1raiz1 - (0,6)^2 = 1raiz1 - 0,36 = 1raiz0,64 = 10,8 = 1,25

Passo 4

Agora, vamos calcular o momento de cada parte usando p = gamma m v.
Para a primeira parte:
p1 = gamma1 m1 v1 = 1,6667 times 3,g times 0,8c = 4,g times c
Para a segunda parte:
p2 = gamma2 m2 v2 = 1,25 times 5,33,g times 0,6c approx 4,g times c
Note que um está indo para a direita e o outro para a esquerda, então seus momentos têm sinais opostos.

Passo 5

Como o momento total antes da fragmentação era zero, a soma dos momentos das duas partes também deve ser zero:
ptotal = p1 + (-p2) = 0
Substituindo os valores:
4,g times c - 4,g times c = 0
Isso confirma que a conservação do momento está mantida.

Passo 6

Agora, para encontrar a massa de repouso original ( M), usamos a relação de energia total no sistema. A energia total antes da fragmentação é apenas a energia de repouso do objeto original:
Eoriginal = M c^2
Após a fragmentação, a energia é a soma das energias de repouso e das energias cinéticas das duas partes:
Etotal = gamma1 m1 c^2 + gamma2 m2 c^2
Como a energia total deve ser conservada:
M c^2 = gamma1 m1 c^2 + gamma2 m2 c^2
Dividindo ambos os lados por c^2:
M = gamma1 m1 + gamma2 m2
Substituindo os valores:
M = 1,6667 times 3,g + 1,25 times 5,33,g approx 5,g + 6,66,g = 11,66,g

Resposta

A massa de repouso do corpo original é 11,66 g.

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