Qual é a velocidade final de um elétron que é acelerado, aproximadamente do repouso, através de uma diferença de potencial de 10^5 V ? Resposta 0,548 c.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um elétron que está sendo acelerado a partir do repouso por uma diferença de potencial de 10^5 V. O objetivo aqui é descobrir qual será a velocidade final desse elétron. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática e física relativística, já que a velocidade pode chegar a uma fração significativa da velocidade da luz.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que quando um elétron é acelerado por uma diferença de potencial V, ele ganha energia. Essa energia fornecida é dada pela fórmula:
E = e cdot V
Onde:
  • E é a energia adquirida pelo elétron,
  • e é a carga elementar do elétron ( 1,602 times 10^-19 C),
  • V é a diferença de potencial ( 10^5 V).

Passo 3

Vamos calcular essa energia:
E = 1,602 times 10^-19 C times 10^5 V = 1,602 times 10^-14 J
Então, o elétron ganha 1,602 times 10^-14 J de energia ao ser acelerado.

Passo 4

Agora, precisamos relacionar essa energia com a velocidade final do elétron. Como a energia está em uma faixa que pode aproximar-se de energias relativísticas (onde a velocidade é uma fração significativa da velocidade da luz), usamos a fórmula da energia cinética relativística:
E = (gamma - 1) me c^2
Onde:
  • gamma é o fator de Lorentz,
  • me é a massa do elétron ( 9,109 times 10^-31 kg),
  • c é a velocidade da luz ( 3 times 10^8 m/s).

Passo 5

Isolando gamma na fórmula:
gamma = 1 + Eme c^2
Substituindo os valores:
gamma = 1 + 1,602 times 10^-14 J9,109 times 10^-31 kg times (3 times 10^8 m/s)^2

Passo 6

Calculando o denominador:
me c^2 = 9,109 times 10^-31 kg times 9 times 10^16 m^2/s^2 = 8,198 times 10^-14 J
Então:
gamma = 1 + 1,602 times 10^-148,198 times 10^-14 approx 1 + 0,1957 = 1,1957

Passo 7

Com gamma conhecido, podemos encontrar a velocidade final usando a relação:
gamma = 1raiz1 - (vc)^2
Vamos isolar vc:
1 - (vc)^2 = 1gamma^2
(vc)^2 = 1 - 1gamma^2
vc = raiz1 - 1gamma^2

Passo 8

Substituindo o valor de gamma:
vc = raiz1 - 1(1,1957)^2 approx raiz1 - 11,429 approx raiz0,3 approx 0,548

Resposta

A velocidade final do elétron é aproximadamente 0,548, c.

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