Um objeto situado a 100 cm de um espelho côncavo forma uma imagem real a 75 cm do espelho. O espelho é girado de
de modo a ficar com a face convexa voltada para o objeto, e sua distancia ajustada para que a imagem se forme 35 cm atrás dele. Qual a nova distancia entre o espelho e o objeto?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só.
- Informação 1: Um objeto está a
de um espelho côncavo. - Informação 2: Esse espelho forma uma imagem real a
do espelho. - Informação 3: O espelho é girado
de modo que a face convexa fica voltada para o objeto. - Informação 4: Depois de girado, a distância entre espelho e objeto é ajustada para que a imagem se forme
atrás do espelho. - Pergunta: Qual é a nova distância entre o espelho e o objeto?
Passo 2
Vamos lembrar e explicar a fórmula que usamos para espelhos esféricos (espelhos côncavos e convexos) e a convenção de sinais que vou adotar — isto é essencial para não nos perder na conta.
- Fórmula fundamental (equação dos espelhos):
Aqui:
-
é a distância focal do espelho (positiva para espelho côncavo, negativa para espelho convexo). -
é a distância do objeto ao espelho (positiva se o objeto está na frente do espelho, que é o caso usual). -
é a distância da imagem ao espelho (positiva se a imagem é real e está na frente do espelho; negativa se a imagem é virtual e fica atrás do espelho). -
Interpretação física curta e útil:
- Espelho côncavo tende a formar imagens reais na frente do espelho (portanto
nesses casos) e tem . - Espelho convexo forma imagens virtuais atrás do espelho (
) e tem .
- Espelho côncavo tende a formar imagens reais na frente do espelho (portanto
-
Magnificação (apenas para conferir sinais e sentido da imagem):
onde
negativo indica imagem invertida.
Vou usar essa convenção ao longo da resolução.
Passo 3
Aplicamos a equação dos espelhos à primeira situação (espelho côncavo):
- Dados:
e (imagem real, portanto ). - A equação é
Substituindo os valores:
Passo 4
Calculemos a soma das frações com cuidado (fazendo como você faria à mão):
- Primeiro colocar em denominador comum. O mínimo múltiplo comum de
e é .
- Então
- Logo a distância focal do espelho côncavo é
É bom entender:
confirma que era um espelho côncavo. Numericamente,
.
Passo 5
Quando giramos o espelho
ele passa a apresentar a face convexa voltada para o objeto. Geometricamente isso significa que agora temos um espelho convexo com a mesma curvatura (mesma magnitude de distância focal) mas com sinal trocado. Ou seja:
Isto porque a curvatura é a mesma, só que a superfície refletora efetiva fica do lado oposto, tornando a focal negativa.
Passo 6
Agora usamos a segunda situação para aplicar a equação dos espelhos ao espelho convexo:
- Dados nesta situação: queremos achar
(nova distância objeto‑espelho). A imagem fica atrás do espelho, ou seja (virtual, atrás do espelho, sinal negativo). - A equação é
Substituindo
e
:
Passo 7
Agora manipulação algébrica passo a passo para isolar
:
- Calcule o inverso da focal:
- Escrevendo a equação:
(Observe que
.)
- Isolando
:
- Colocando em denominador comum
(pois relaciona com via , mas aqui é mais simples usar diretamente):
Assim
- Portanto
Passo 8
Interpretação e verificação rápida:
- Numericamente:
- O resultado faz sentido fisicamente: para um espelho convexo (focal negativa), as imagens virtuais estão sempre atrás do espelho; para obter uma imagem virtual a
atrás, o objeto precisa estar a uma certa distância à frente do espelho. O valor positivo de (aprox. ) está coerente com a convenção de sinais e com a geometria.
Força aí — você já tem tudo para reproduzir isso na prova: usar a equação dos espelhos, cuidar bem dos sinais, inverter o sinal de
quando o espelho vira convexo, e resolver a fração.