Um objeto situado a 100 cm de um espelho côncavo forma uma imagem real a 75 cm do espelho. O espelho é girado de 180{ }^{\mathrm{o}} de modo a ficar com a face convexa voltada para o objeto, e sua distancia ajustada para que a imagem se forme 35 cm atrás dele. Qual a nova distancia entre o espelho e o objeto?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só.
  • Informação 1: Um objeto está a 100\\ \text{cm} de um espelho côncavo.
  • Informação 2: Esse espelho forma uma imagem real a 75\\ \text{cm} do espelho.
  • Informação 3: O espelho é girado 180^\circ de modo que a face convexa fica voltada para o objeto.
  • Informação 4: Depois de girado, a distância entre espelho e objeto é ajustada para que a imagem se forme 35\\ \text{cm} atrás do espelho.
  • Pergunta: Qual é a nova distância entre o espelho e o objeto?

Passo 2

Vamos lembrar e explicar a fórmula que usamos para espelhos esféricos (espelhos côncavos e convexos) e a convenção de sinais que vou adotar — isto é essencial para não nos perder na conta.
  • Fórmula fundamental (equação dos espelhos):
\frac{1}{f}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}
Aqui:
  • f é a distância focal do espelho (positiva para espelho côncavo, negativa para espelho convexo).
  • s é a distância do objeto ao espelho (positiva se o objeto está na frente do espelho, que é o caso usual).
  • s' é a distância da imagem ao espelho (positiva se a imagem é real e está na frente do espelho; negativa se a imagem é virtual e fica atrás do espelho).
  • Interpretação física curta e útil:
    • Espelho côncavo tende a formar imagens reais na frente do espelho (portanto s'>0 nesses casos) e tem f>0.
    • Espelho convexo forma imagens virtuais atrás do espelho ( s'<0) e tem f<0.
  • Magnificação (apenas para conferir sinais e sentido da imagem):
m = -\frac{s'}{s},
onde m negativo indica imagem invertida.
Vou usar essa convenção ao longo da resolução.

Passo 3

Aplicamos a equação dos espelhos à primeira situação (espelho côncavo):
  • Dados: \,s_1=100\\ \text{cm} e \,s_1'=75\\ \text{cm} (imagem real, portanto s_1'>0).
  • A equação é
\frac{1}{f}=\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_1'}.
Substituindo os valores:
\frac{1}{f}=\frac{1}{100}+\frac{1}{75}.

Passo 4

Calculemos a soma das frações com cuidado (fazendo como você faria à mão):
  • Primeiro colocar em denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 100 e 75 é 300.
\frac{1}{100}=\frac{3}{300},\qquad \frac{1}{75}=\frac{4}{300}.
  • Então
\frac{1}{f}=\frac{3}{300}+\frac{4}{300}=\frac{7}{300}.
  • Logo a distância focal do espelho côncavo é
f=\frac{300}{7}\\ \text{cm}.
É bom entender: f>0 confirma que era um espelho côncavo. Numericamente, f=\dfrac{300}{7}\\ \text{cm}\approx 42{,}857\\ \text{cm}.

Passo 5

Quando giramos o espelho 180^\circ ele passa a apresentar a face convexa voltada para o objeto. Geometricamente isso significa que agora temos um espelho convexo com a mesma curvatura (mesma magnitude de distância focal) mas com sinal trocado. Ou seja:
f_{\text{convexo}}=-f_{\text{côncavo}}=-\frac{300}{7}\\ \text{cm}.ô
Isto porque a curvatura é a mesma, só que a superfície refletora efetiva fica do lado oposto, tornando a focal negativa.

Passo 6

Agora usamos a segunda situação para aplicar a equação dos espelhos ao espelho convexo:
  • Dados nesta situação: queremos achar \,s_2 (nova distância objeto‑espelho). A imagem fica 35\\ \text{cm} atrás do espelho, ou seja s_2'=-35\\ \text{cm} (virtual, atrás do espelho, sinal negativo).
  • A equação é
\frac{1}{f_{\text{convexo}}}=\frac{1}{s_2}+\frac{1}{s_2'}.
Substituindo f_{\text{convexo}}=-\dfrac{300}{7} e s_2'=-35:
\frac{1}{-\dfrac{300}{7}}=\frac{1}{s_2}+\frac{1}{-35}.

Passo 7

Agora manipulação algébrica passo a passo para isolar s_2:
  • Calcule o inverso da focal:
\frac{1}{-\dfrac{300}{7}}=-\frac{7}{300}.
  • Escrevendo a equação:
-\frac{7}{300}=\frac{1}{s_2}-\frac{1}{35}.
(Observe que \dfrac{1}{-35}=-\dfrac{1}{35}.)
  • Isolando \dfrac{1}{s_2}:
\frac{1}{s_2}=-\frac{7}{300}+\frac{1}{35}.
  • Colocando em denominador comum 300 (pois 35\cdot \, =35 relaciona com 300 via 35\cdot \, 60 =2100, mas aqui é mais simples usar 2100 diretamente):
\frac{1}{35}=\frac{60}{2100},\qquad \frac{7}{300}=\frac{49}{2100}.
Assim
\frac{1}{s_2}=-\frac{49}{2100}+\frac{60}{2100}=\frac{11}{2100}.
  • Portanto
s_2=\frac{2100}{11}\\ \text{cm}.

Passo 8

Interpretação e verificação rápida:
  • Numericamente:
s_2=\frac{2100}{11}\\ \text{cm}\approx 190{,}909\\ \text{cm}.
  • O resultado faz sentido fisicamente: para um espelho convexo (focal negativa), as imagens virtuais estão sempre atrás do espelho; para obter uma imagem virtual a 35\\ \text{cm} atrás, o objeto precisa estar a uma certa distância à frente do espelho. O valor positivo de s_2 (aprox. 190{,}91\\ \text{cm}) está coerente com a convenção de sinais e com a geometria.
Força aí — você já tem tudo para reproduzir isso na prova: usar a equação dos espelhos, cuidar bem dos sinais, inverter o sinal de f quando o espelho vira convexo, e resolver a fração.

Resposta

\dfrac{2100}{11}\\ \text{cm}\approx 190{,}909\\ \text{cm}

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