Considere que a água preenche uma represa de altura
e de largura
. Determine:
A pressão média
exercida sobre a represa.
A pressão média
Passo 1
O enunciado dá: a água preenche uma represa com altura
, e largura (no sentido perpendicular à parede)
. Pede-se a pressão média
exercida sobre a face vertical da represa. Informações relevantes listadas:
- Altura do fluido:
. - Largura da parede (profundidade da face):
. - Densidade da água:
(usar quando necessário). - Aceleração da gravidade:
.
O objetivo é encontrar, a pressão média sobre a área da face da represa.
Passo 2
Defino um sistema de coordenadas simples para trabalhar de forma organizada: seja
a profundidade medida a partir da superfície livre (ou seja,
na superfície e
no fundo). Vou considerar uma faixa horizontal infinitesimal da face, de espessura
localizada na profundidade
. A área dessa faixa é
Explicação didática do que usamos a seguir: em fluidos em repouso, a pressão hidrostática cresce linearmente com a profundidade segundo a fórmula
onde
é a pressão absoluta adicional devido ao fluido na profundidade
,
é a densidade do fluido e
é a aceleração da gravidade. Essa fórmula vem do equilíbrio de uma coluna de fluido (peso do fluido acima dividido pela área).
Passo 3
A força exercida pela água sobre a faixa diferencial de área é a pressão naquele nível multiplicada pela área diferencial. Assim
Aqui:
-
é a força (em N) sobre a faixa de altura , -
é a pressão (em Pa) naquele nível, -
é a área da faixa (em m^2).
Passo 4
O esforço total
sobre toda a face da represa obtém-se integrando
de
até
:
Faço a integral passo a passo:
Passo 5
A pressão média
sobre a face é definida como a força total dividida pela área total da face. A área total da face é
Logo
Simplificando
e
,
Interpretação física e atalho: como a pressão varia linearmente com a profundidade, a média aritmética das pressões entre
e
é a pressão em
. Portanto
.
Passo 6
Podemos também escrever o resultado em termos do peso específico do fluido
. Assim
Comentário final e motivação: essa é a expressão que você deve lembrar na prova. Se precisar de um número, basta substituir
(para água típica
) e
(p.ex.
) e o valor de
.