Considere que a água preenche uma represa de altura H e de largura w. Determine:
A pressão média \bar{P} exercida sobre a represa.

Passo 1

O enunciado dá: a água preenche uma represa com altura \,H, e largura (no sentido perpendicular à parede) \,w. Pede-se a pressão média \bar{P} exercida sobre a face vertical da represa. Informações relevantes listadas:
  • Altura do fluido: \,H.
  • Largura da parede (profundidade da face): \,w.
  • Densidade da água: \,\rho (usar quando necessário).
  • Aceleração da gravidade: \,g.
    O objetivo é encontrar \bar{P}, a pressão média sobre a área da face da represa.

Passo 2

Defino um sistema de coordenadas simples para trabalhar de forma organizada: seja \,y a profundidade medida a partir da superfície livre (ou seja, \,y=0 na superfície e \,y=H no fundo). Vou considerar uma faixa horizontal infinitesimal da face, de espessura \,dy localizada na profundidade \,y. A área dessa faixa é
dA = w\,dy.
Explicação didática do que usamos a seguir: em fluidos em repouso, a pressão hidrostática cresce linearmente com a profundidade segundo a fórmula
p(y)=\rho g y,
onde \,p(y) é a pressão absoluta adicional devido ao fluido na profundidade \,y, \,\rho é a densidade do fluido e \,g é a aceleração da gravidade. Essa fórmula vem do equilíbrio de uma coluna de fluido (peso do fluido acima dividido pela área).

Passo 3

A força exercida pela água sobre a faixa diferencial de área é a pressão naquele nível multiplicada pela área diferencial. Assim
dF = p(y)\,dA = \rho g y \cdot w\,dy.
Aqui:
  • \,dF é a força (em N) sobre a faixa de altura \,dy,
  • \,\rho g y é a pressão (em Pa) naquele nível,
  • \,w\,dy é a área da faixa (em m^2).

Passo 4

O esforço total F sobre toda a face da represa obtém-se integrando \,dF de \,y=0 até \,y=H:
F=\int_{0}^{H} dF = \int_{0}^{H} \rho g y \, w\, dy.
Faço a integral passo a passo:
F = \rho g w \int_{0}^{H} y\, dy = \rho g w \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{H} = \rho g w \cdot \frac{H^{2}}{2}.

Passo 5

A pressão média \bar{P} sobre a face é definida como a força total dividida pela área total da face. A área total da face é
A = w H.
Logo
\bar{P} = \frac{F}{A} = \frac{\rho g w \dfrac{H^{2}}{2}}{w H}.
Simplificando w e H,
\bar{P} = \rho g \cdot \frac{H}{2}.
Interpretação física e atalho: como a pressão varia linearmente com a profundidade, a média aritmética das pressões entre \,y=0 e \,y=H é a pressão em \,y=H/2. Portanto \bar{P}=\rho g (H/2).

Passo 6

Podemos também escrever o resultado em termos do peso específico do fluido \,\gamma=\rho g. Assim
\bar{P} = \gamma \frac{H}{2}.
Comentário final e motivação: essa é a expressão que você deve lembrar na prova. Se precisar de um número, basta substituir \,\rho (para água típica \,1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}) e \,g (p.ex. \,9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}) e o valor de \,H.

Resposta

\bar{P} = \rho g \frac{H}{2} = \gamma \frac{H}{2}

Exercícios relacionados