Qual é o raio da trajetória circular que o bloco segue? Expresse isso em termos de \beta e h.

Passo 1

O que o enunciado pede: “Qual é o raio da trajetória circular que o bloco segue? Expresse isso em termos de \beta e h.”
Informações dadas (ou assumidas porque não foi enviada a figura):
  • Você me deu apenas as variáveis \beta e h.
  • Não veio a figura; então vou adotar a configuração mais natural e usual para esse tipo de problema: o bloco parte do ponto mais alto de um arco circular (o “topo” da circunferência) e desce até um ponto que, visto do centro da circunferência, determina um ângulo \beta com a vertical. O deslocamento vertical entre o topo e esse ponto é h.
  • Ou seja: centro da circunferência é O, raio R (o que queremos achar), ponto inicial no topo tem coordenada vertical R acima do centro, e o ponto onde o bloco está forma o ângulo \beta com a vertical.
Obs.: se a configuração que você tem for outra, diga (mas você pediu que eu não pergunte nada). Então sigo essa hipótese, que é a mais comum e leva a uma relação simples entre R,\beta,h.

Passo 2

Entendendo a geometria: posição vertical dos pontos na circunferência.
  • Num círculo de centro O e raio R, o ponto do topo (diretamente acima de O) tem coordenada vertical (relativa a O) igual a +R.
  • Um ponto da circunferência cujo raio faz ângulo \beta com a vertical (veja como o raio vai “inclinar” \beta para o lado) tem coordenada vertical (relativa a O) igual a R\cos\beta.
Explicação do porquê: se você traça o raio até esse ponto, forma-se um triângulo reto onde a componente vertical do raio é o cateto adjacente ao ângulo \beta; e por definição trigonométrica do cosseno,
\cos\beta=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{\text{componente vertical}}{R},
portanto a componente vertical vale R\cos\beta.

Passo 3

Escrevendo o deslocamento vertical h em termos de R e \beta.
  • O bloco caiu do topo (vertical +R em relação a O) até o ponto cuja vertical é R\cos\beta.
  • Então a queda vertical é a diferença:
h = R - R\cos\beta.
  • Fatorando R obtemos
h = R(1-\cos\beta).

Passo 4

Isolando R: resolver a equação para o raio.
  • A equação do passo anterior é linear em R. Basta dividir ambos os lados por (1-\cos\beta) (desde que 1-\cos\beta\neq0, isto é, \beta\neq0; se \beta=0 não houve queda e o problema é degenerado).
  • Assim,
R=\frac{h}{1-\cos\beta}.

Passo 5

Interpretação e checagens rápidas (úteis na prova):
  • Dimensionalmente está ok: h e R têm mesmas unidades, e o denominador é adimensional.
  • Comportamento limite: se \beta pequeno, usando expansão \cos\beta\approx 1-\tfrac{\beta^{2}}{2}, então 1-\cos\beta\approx\tfrac{\beta^{2}}{2} e
R\approx\frac{2h}{\beta^{2}}
(o que diz que para ângulos muito pequenos o raio precisa ser grande para produzir a mesma queda h).
  • Caso \beta=\pi (meio círculo abaixo do centro), temos \cos\pi=-1 e R=\tfrac{h}{2}, o que faz sentido: do topo até o ponto diametralmente oposto a queda vertical é 2R, então h=2R\Rightarrow R=h/2.

Resposta

R=\frac{h}{1-\cos\beta}

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