Qual é o raio da trajetória circular que o bloco segue? Expresse isso em termos de
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede: “Qual é o raio da trajetória circular que o bloco segue? Expresse isso em termos de
e
.”
Informações dadas (ou assumidas porque não foi enviada a figura):
- Você me deu apenas as variáveis
e . - Não veio a figura; então vou adotar a configuração mais natural e usual para esse tipo de problema: o bloco parte do ponto mais alto de um arco circular (o “topo” da circunferência) e desce até um ponto que, visto do centro da circunferência, determina um ângulo
com a vertical. O deslocamento vertical entre o topo e esse ponto é . - Ou seja: centro da circunferência é
, raio (o que queremos achar), ponto inicial no topo tem coordenada vertical acima do centro, e o ponto onde o bloco está forma o ângulo com a vertical.
Obs.: se a configuração que você tem for outra, diga (mas você pediu que eu não pergunte nada). Então sigo essa hipótese, que é a mais comum e leva a uma relação simples entre
.
Passo 2
Entendendo a geometria: posição vertical dos pontos na circunferência.
- Num círculo de centro
e raio , o ponto do topo (diretamente acima de ) tem coordenada vertical (relativa a ) igual a . - Um ponto da circunferência cujo raio faz ângulo
com a vertical (veja como o raio vai “inclinar” para o lado) tem coordenada vertical (relativa a ) igual a .
Explicação do porquê: se você traça o raio até esse ponto, forma-se um triângulo reto onde a componente vertical do raio é o cateto adjacente ao ângulo
; e por definição trigonométrica do cosseno,
portanto a componente vertical vale
.
Passo 3
Escrevendo o deslocamento vertical
em termos de
e
.
- O bloco caiu do topo (vertical
em relação a ) até o ponto cuja vertical é . - Então a queda vertical é a diferença:
- Fatorando
obtemos
Passo 4
Isolando
: resolver a equação para o raio.
- A equação do passo anterior é linear em
. Basta dividir ambos os lados por (desde que , isto é, ; se não houve queda e o problema é degenerado). - Assim,
Passo 5
Interpretação e checagens rápidas (úteis na prova):
- Dimensionalmente está ok:
e têm mesmas unidades, e o denominador é adimensional. - Comportamento limite: se
pequeno, usando expansão , então e
(o que diz que para ângulos muito pequenos o raio precisa ser grande para produzir a mesma queda
).
- Caso
(meio círculo abaixo do centro), temos e , o que faz sentido: do topo até o ponto diametralmente oposto a queda vertical é , então .