Um objeto é solto do alto de uma rampa de 5 m de altura e chega a base da rampa com velocidade de 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Sabendo que o objeto tem 5 kg e que a rampa tem uma inclinação de 30^{\circ}, calcule o coeficiente de atrito cinético entre o objeto e a superfície da rampa.

Passo 1

O enunciado diz que um objeto de massa m=5\\ \mathrm{kg} desliza por uma rampa inclinada a \theta=30^\circ, partindo de uma altura h=5\\ \mathrm{m} e atinge a base com velocidade v=6\\ \mathrm{m/s}. O conteúdo aqui é conservação de energia mecânica com trabalho da força de atrito. Vamos usar que a perda de energia potencial vira energia cinética menos o trabalho dissipado pelo atrito.

Passo 2

Primeiro determinamos o comprimento do plano inclinado, pois é a distância s sobre a qual o atrito atua. Como \sin\theta = h/s, temos
s = \frac{h}{\sin\theta} = \frac{5}{\sin 30^\circ} = \frac{5}{0{,}5} = 10\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Pela conservação de energia com trabalho da força de atrito W_f,
mgh - W_f = \tfrac12\,m\,v^2.

Passo 4

O trabalho de atrito é W_f = F_{\mathrm{at}}\,s, com F_{\mathrm{at}} = \mu_k\,N e N = m g \cos\theta. Logo,
W_f = \mu_k\,m\,g\,\cos\theta\,s.

Passo 5

Substituindo W_f no balanço de energia e isolando \mu_k,
mgh - \mu_k\,m\,g\,\cos\theta\,s = \tfrac12 m v^2 \quad\Longrightarrow\quad \mu_k = \frac{mgh - \tfrac12 m v^2}{m\,g\,\cos\theta\,s}.
Cancelando m:
\mu_k = \frac{gh - \tfrac12 v^2}{g\,\cos\theta\,s}.

Passo 6

Agora substituímos os valores ( g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}):
gh = 9{,}8 \times 5 = 49,\quad \tfrac12 v^2 = \tfrac12 \times 36 = 18,
g\,\cos\theta\,s = 9{,}8 \times \cos 30^\circ \times 10 = 9{,}8 \times \frac{\sqrt3}{2} \times 10 \approx 9{,}8 \times 0{,}866 \times 10 \approx 84{,}9.
Logo
\mu_k = \frac{49 - 18}{84{,}9} \approx \frac{31}{84{,}9} \approx 0{,}37.

Resposta

O coeficiente de atrito cinético é aproximadamente \mu_k = 0{,}37.

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