Uma pedra de 50 g é jogada para cima através do uso de uma mola. A mola é deformada de 15 cm e tem constante elástica igual a 1000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. (a) Qual seria a altura máxima alcançada pela pedra, assumindo que toda a energia potencial elástica da mola antes do lançamento fosse convertida em energia potencial gravitacional para o sistema pedra-Terra? (b) E se 20% da energia mecânica inicial fosse perdida, devido ao atrito com o ar?

Passo 1

O enunciado descreve uma pedra de massa m presa a uma mola de constante elástica k, comprimida de x, que libera sua energia elástica para elevar a pedra contra a gravidade. Vamos usar conservação de energia mecânica, sabendo que a energia potencial elástica da mola é
E_{\mathrm{el}} = \frac{1}{2}k x^2
e que a energia potencial gravitacional adquirida pela pedra ao subir uma altura h é
E_{\mathrm{grav}} = m g h.
No item (a) assumimos perda nula de energia; no item (b) consideramos que 20\% de E_{\mathrm{el}} é dissipada pelo ar.

Passo 2

Para o caso sem perdas, aplicamos
\frac{1}{2}k x^2 \;=\; m g h
e isolamos h:
h \;=\;\frac{\tfrac12\,k\,x^2}{m\,g}\;=\;\frac{k\,x^2}{2\,m\,g}.

Passo 3

Agora substituímos os valores:
m = 50\,\mathrm{g} = 0.05\,\mathrm{kg},\quad k = 1000\,\mathrm{N/m},\quad x = 0.15\,\mathrm{m},\quad g = 9.8\,\mathrm{m/s^2}.
Calculando a energia elástica:
E_{\mathrm{el}} = \frac{1}{2}\times1000\times(0.15)^2 = 11.25\\ \mathrm{J}.
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h = \frac{11.25}{0.05\times9.8} = \frac{11.25}{0.49}\approx 22.96\\ \mathrm{m}\approx 23\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Se 20\% de E_{\mathrm{el}} for perdido, sobra
E_{\mathrm{disponível}} = 0.8\times E_{\mathrm{el}} = 0.8\times11.25 = 9.0\\ \mathrm{J}.í
Novamente igualamos a energia disponível à energia gravitacional:
m g h' = E_{\mathrm{disponível}} \quad\Rightarrow\quad h' = \frac{E_{\mathrm{disponível}}}{m\,g}.íí

Passo 5

Substituindo valores em h':
h' = \frac{9.0}{0.05\times9.8} = \frac{9.0}{0.49}\approx 18.37\\ \mathrm{m}\approx 18.4\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) 23\\ \mathrm{m}
(b) 18.4\\ \mathrm{m}

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