Um objeto está submetido a uma força dada por
. Calcule o trabalho realizado por essa força sobre o objeto quando este:
se move sobre o eixo dos
do ponto
ate
e entāo vai de
até
paralelamente ao eixo dos
;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um objeto submetido a uma força que depende das coordenadas $ x $ e $ y $, dada por $ \mathbf{F} = kx,\mathbf{i} - ky,\mathbf{j} $. O conteúdo principal aqui é o cálculo do trabalho realizado por uma força quando um objeto se move ao longo de um caminho específico.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula do trabalho, que é:
Isso significa que vamos integrar o produto escalar da força pelo deslocamento ao longo do trajeto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o trabalho quando o objeto se move sobre o eixo $ x $ do ponto $ (0,0) $ até $ (a,0) $.
Aqui, o movimento ocorre apenas na direção $ x $, então $ y = 0 $ durante todo o percurso. O deslocamento infinitesimal $ d\mathbf{r} $ é $ dx,\mathbf{i} $.
A força nesse trajeto fica:
O trabalho $ W_x $ é então:
Integrando:
Passo 3
Agora, vamos calcular o trabalho quando o objeto se move de $ (a,0) $ até $ (a,b) $ paralelamente ao eixo $ y $.
Nesse movimento, $ x = a $ é constante e $ y $ varia de 0 a $ b $. O deslocamento infinitesimal $ d\mathbf{r} $ é $ dy,\mathbf{j} $.
A força nesse trajeto fica:
O trabalho $ W_y $ é:
Calculando o produto escalar:
Integrando:
Passo 4
Agora, vamos somar os trabalhos realizados nas duas partes do trajeto para obter o trabalho total $ W $:
Podemos fatorar o $ \frac{k}{2} $:
Resposta
O trabalho realizado pela força sobre o objeto no trajeto descrito é: