Um bloco de massa m=1,0 kg oscila sobre o plano horizontal, preso a uma mola de constante elástica k=85 N / m e deslizando sem atrito. Quando ele está a uma distância de 10 cm do comprimento relaxado da mola, sua velocidade é igual a 3,4 m / s. Determine:
(a) a velocidade com que o bloco passa pela posição correspondente ao comprimento relaxado da mola.
(b) A elongação máxima da mola.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um bloco de massa $ m = 1,0 , kg $ que oscila sobre um plano horizontal sem atrito, preso a uma mola com constante elástica $ k = 85 , N/m $. Quando o bloco está a $ 10 , cm $ (ou 0,10 metros) da posição em que a mola está relaxada, sua velocidade é $ 3,4 , m/s $.
Vamos precisar aplicar conceitos de energia mecânica na oscilação de um sistema massa-mola, usando as fórmulas de energia cinética e energia potencial elástica. Nosso objetivo é:
a) Encontrar a velocidade do bloco quando ele passa pela posição relaxada da mola.
b) Determinar a elongação máxima da mola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as fórmulas que vamos usar:
  • Energia Cinética (EC):
    EC = 12 m v^2
  • Energia Potencial Elástica (EPE):
    EPE = 12 k x^2
  • Energia Mecânica Total (EM): Em um sistema sem atrito, a energia mecânica total é constante e é a soma da energia cinética e da energia potencial:
    EM = EC + EPE

Passo 3

Vamos calcular a energia mecânica total quando o bloco está a $ 10 , cm $ da posição relaxada. Primeiro, convertemos 10 cm para metros:
10 , cm
Agora, calculamos a energia potencial elástica nessa posição:
x = 10 , cm = 0,10 , m
Em seguida, calculamos a energia cinética nessa posição:
EPE = 12 times 85 , N/m times (0,10 , m)^2 = 12 times 85 times 0,01 = 0,425 , J
Então, a energia mecânica total é:
EC = 12 times 1,0 , kg times (3,4 , m/s)^2 = 12 times 1,0 times 11,56 = 5,78 , J

Passo 4

Parte (a): Vamos encontrar a velocidade do bloco quando ele passa pela posição relaxada da mola ($ x = 0 , m $).
Na posição relaxada, toda a energia potencial elástica é zero ($ EPE = 0 $), então toda a energia mecânica é cinética:
x = 0 , m
Usando $ EM = 6,205 , J $, temos:
EPE = 0
Resolvendo para $ v $:
EM = EC
EM = 6,205 , J

Passo 5

Parte (b): Agora, vamos determinar a elongação máxima da mola, ou seja, o quanto a mola se estende no ponto mais afastado (onde a velocidade é zero).
Nesse ponto, toda a energia mecânica é potencial:
EM = EPE
Usando $ EM = 6,205 , J $:
EM = 6,205 , J
Resolvendo para $ x_{max} $:
6,205 = 12 times 85 times xmax^2
xmax

Resposta

(a) A velocidade do bloco ao passar pela posição relaxada da mola é aproximadamente $ 3,52 , m/s $.
(b) A elongação máxima da mola é de aproximadamente $ 38,1 , cm $.

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