Um objeto está submetido a uma força dada por F=k1 x i-k2 y j. Calcule o trabalho realizado por essa força sobre o objeto quando este: (A) se move sobre o eixo dos x do ponto (0,0) até (a, 0) e então vai de (a, 0) até (a, b) paralelamente ao eixo dos y ;(B) se move sobre o eixo dos y do ponto (0,0) a(0, b) e então vai de (0, b) até (a, b) paralelamente ao eixo dos x. (Dica: como d r=d x i+d y j, quando o movimento é paralelo ao eixo dos x d r=d x i e quando é paralelo ao eixo dos y d r=d y j.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o trabalho realizado por uma força específica quando um objeto se move por dois caminhos diferentes. Vamos precisar entender o que é trabalho na física, como calcular usando integrais e aplicar isso aos movimentos descritos. Para isso, vamos usar a fórmula do trabalho , onde é a força e é o deslocamento.

Passo 2

Vamos começar com a parte A do exercício. Aqui, o objeto se move em duas etapas:
  1. Do ponto até ao longo do eixo .
  2. De até paralelo ao eixo .
Vamos calcular o trabalho em cada etapa e depois somar os resultados.

Passo 3

Primeira Etapa: Movimento ao longo do eixo W1 = integral0^a F cdot dr = integral0^a k1 x , dx de W1 = k1 [ x^22 ]0^a = k1 a^22 a .
Nesse movimento, o objeto está se deslocando apenas na direção do , então . A força é dada por . Como nessa trajetória, a força simplifica para .
O trabalho realizado nessa etapa é:
Integrando:

Passo 4

Segunda Etapa: Movimento paralelo ao eixo F = k1 a i - k2 y j de W2 = integral0^b F cdot dr = integral0^b (-k2 y) , dy a W2 = -k2 [ y^22 ]0^b = -k2 b^22 .
Aqui, o deslocamento é na direção do , então . A força na posição é:
O trabalho realizado nessa etapa é:
Integrando:

Passo 5

Calculando o Trabalho Total para a Parte A:
Agora, somamos os trabalhos das duas etapas:
Wtotal(A) = W1 + W2 = k1 a^22 - k2 b^22

Passo 6

Parte B do Exercício:
Embora a questão original peça apenas a parte A, caso precise resolver a parte B, seguiríamos um processo similar:
  1. Mover-se ao longo do eixo de a , calculando o trabalho.
  2. Depois mover-se paralelo ao eixo de a , calculando o trabalho.
  3. Somar os dois trabalhos para obter o total.

Resposta

O trabalho realizado pela força na parte A é:
W = k1 a^22 - k2 b^22

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