Em t=0 o átomo de hidrogênio encontra-se na autofunção
psi(r, 0)=1raiz10(2|100rang<=+|210rang<=+raiz2|211rang<=+raiz3|21-1rang<=),
na base |n l mrang<=. Ignore o spin.
Qual a probabilidade de encontrar o sistema com l=1, m=+1 como função do tempo?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar.
Enunciado resumido: No instante inicial $ t = 0 $, um átomo de hidrogênio está numa superposição de estados próprios representada por
t = 0
Queremos descobrir qual é a probabilidade, em função do tempo, de encontrar o sistema nos estados com $ l = 1 $ e $ m = +1 $.
Conteúdo da matéria: Vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados a estados próprios de energia, evolução temporal das funções de onda e cálculo de probabilidades a partir da projeção da função de onda.
O que vamos precisar: Saber como a função de onda evolui no tempo para estados próprios de energia e como calcular a probabilidade de encontrar o sistema em um determinado estado através da projeção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os estados envolvidos na superposição. Cada termo $ |n l m\rangle $ representa um estado próprio do átomo de hidrogênio com os números quânticos principais $ n $, azimutal $ l $ e magnético $ m $.
Na nossa superposição inicial:
  • $ |100\rangle $: $ n=1 $, $ l=0 $, $ m=0 $
  • $ |210\rangle $: $ n=2 $, $ l=1 $, $ m=0 $
  • $ |211\rangle $: $ n=2 $, $ l=1 $, $ m=+1 $
  • $ |21-1\rangle $: $ n=2 $, $ l=1 $, $ m=-1 $

Passo 3

Agora, vamos lembrar que cada estado próprio de energia evolui no tempo através de uma fase que depende da energia $ E_n $ desse estado. A evolução temporal da função de onda é dada por:
En
onde $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida.

Passo 4

Aplicando isso à nossa função de onda inicial, temos:
psi(r, t) = 1raiz10 ( 2|100rang<= e^-i E1 t / hbar + |210rang<= e^-i E2 t / hbar + raiz2|211rang<= e^-i E2 t / hbar + raiz3|21-1rang<= e^-i E2 t / hbar )
Note que os estados com $ n=2 $ têm a mesma energia $ E_2 $, então todos eles evoluem com a mesma fase no tempo.

Passo 5

Queremos a probabilidade de encontrar o sistema no estado com $ l=1 $ e $ m=+1 $, ou seja, no estado $ |211\rangle $. Para isso, precisamos calcular a projeção da função de onda total nesse estado específico.
A projeção é dada por:
l=1
Isso porque apenas o termo $ |211\rangle $ contribui para a projeção, e seu coeficiente é $ \sqrt{2}/\sqrt{10} $.

Passo 6

A probabilidade $ P(t) $ é o módulo quadrado dessa projeção:
P(t)
Como a fase $ e^{-i E_2 t / \hbar} $ tem módulo 1 (porque $ |e^{i\theta}| = 1 $ para qualquer $ \theta $), a probabilidade simplifica para:
P(t) = | raiz2raiz10 e^-i E2 t / hbar |^2

Resposta

A probabilidade de encontrar o sistema com $ l=1 $ e $ m=+1 $ é constante no tempo e igual a $ \frac{1}{5} $.

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