Em
o átomo de hidrogênio encontra-se na autofunção
na base
. Ignore o spin.
Qual a probabilidade de encontrar o sistema com
como função do tempo?
Qual a probabilidade de encontrar o sistema com
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar.
Enunciado resumido: No instante inicial $ t = 0 $, um átomo de hidrogênio está numa superposição de estados próprios representada por
Queremos descobrir qual é a probabilidade, em função do tempo, de encontrar o sistema nos estados com $ l = 1 $ e $ m = +1 $.
Conteúdo da matéria: Vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados a estados próprios de energia, evolução temporal das funções de onda e cálculo de probabilidades a partir da projeção da função de onda.
O que vamos precisar: Saber como a função de onda evolui no tempo para estados próprios de energia e como calcular a probabilidade de encontrar o sistema em um determinado estado através da projeção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os estados envolvidos na superposição. Cada termo $ |n l m\rangle $ representa um estado próprio do átomo de hidrogênio com os números quânticos principais $ n $, azimutal $ l $ e magnético $ m $.
Na nossa superposição inicial:
- $ |100\rangle $: $ n=1 $, $ l=0 $, $ m=0 $
- $ |210\rangle $: $ n=2 $, $ l=1 $, $ m=0 $
- $ |211\rangle $: $ n=2 $, $ l=1 $, $ m=+1 $
- $ |21-1\rangle $: $ n=2 $, $ l=1 $, $ m=-1 $
Passo 3
Agora, vamos lembrar que cada estado próprio de energia evolui no tempo através de uma fase que depende da energia $ E_n $ desse estado. A evolução temporal da função de onda é dada por:
onde $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida.
Passo 4
Aplicando isso à nossa função de onda inicial, temos:
Note que os estados com $ n=2 $ têm a mesma energia $ E_2 $, então todos eles evoluem com a mesma fase no tempo.
Passo 5
Queremos a probabilidade de encontrar o sistema no estado com $ l=1 $ e $ m=+1 $, ou seja, no estado $ |211\rangle $. Para isso, precisamos calcular a projeção da função de onda total nesse estado específico.
A projeção é dada por:
Isso porque apenas o termo $ |211\rangle $ contribui para a projeção, e seu coeficiente é $ \sqrt{2}/\sqrt{10} $.
Passo 6
A probabilidade $ P(t) $ é o módulo quadrado dessa projeção:
Como a fase $ e^{-i E_2 t / \hbar} $ tem módulo 1 (porque $ |e^{i\theta}| = 1 $ para qualquer $ \theta $), a probabilidade simplifica para:
Resposta
A probabilidade de encontrar o sistema com $ l=1 $ e $ m=+1 $ é constante no tempo e igual a $ \frac{1}{5} $.