A posição mais próxima de um planeta em relação ao Sol é chamada de periélio e a mais distante é chamado de afélio. Essas posiçöes valem respectivamente 46 e 70 milhöes de quilômetros para o planeta Mercúrio, cuja massa é de 3,34 times 10^23 kg. Sabendo que a massa do Sol é 1,99 times 10^200 kg e que a constante G de gravitação vale 6,67 times 10^-11 N cdot m^2 / kg^2, calcule o trabalho realizado pela força de gravitação do Sol sobre Mercúrio quando este se move de seu periélio até seu afélio. (Dica: veja Exercício-exemplo 7.6.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre Mercúrio e como ele se move ao redor do Sol. Especificamente, queremos calcular o trabalho que a força de gravitação do Sol realiza quando Mercúrio vai do ponto mais próximo ao Sol (periélio) até o mais distante (afélio). Para resolver isso, vamos usar conceitos de trabalho em física, especialmente relacionados à energia potencial gravitacional. Precisamos das fórmulas da gravitação e entender como calcular o trabalho quando um objeto se move sob a influência de uma força gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a força de gravidade é uma força conservativa. Isso significa que o trabalho realizado por essa força depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido. A energia potencial gravitacional (U) entre o Sol e Mercúrio é dada por:
U = -G cdot M cdot mr
Onde:
  • $ G $ é a constante gravitacional,
  • $ M $ é a massa do Sol,
  • $ m $ é a massa de Mercúrio,
  • $ r $ é a distância entre eles.

Passo 3

Como queremos o trabalho realizado pela gravidade quando Mercúrio vai do periélio ($ r_1 r1 é r_2 $), usamos a mudança na energia potencial:
r2
Substituindo a expressão de $ U $:
W = Uf - Ui
U

Passo 4

Agora, vamos converter as distâncias de km para metros, já que a constante $ G $ está em unidades do SI:
  • $ r_1 = 46 \times 10^{6} $ km = $ 46 \times 10^{9} $ m
  • $ r_2 = 70 \times 10^{6} $ km = $ 70 \times 10^{9} $ m

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula do trabalho:
W = 6,67 times 10^-11 cdot 1,99 times 10^30 cdot 3,34 times 10^23 (146 times 10^9 - 170 times 10^9)

Passo 6

Primeiro, calculamos a parte das frações das distâncias:
146 times 10^9 = approx 2,1739 times 10^-11 , m^-1
170 times 10^9 = approx 1,4286 times 10^-11 , m^-1
Então:
1r1 - 1r2 = 2,1739 times 10^-11 - 1,4286 times 10^-11 = 7,453 times 10^-12 , m^-1

Passo 7

Agora, multiplicamos todos os valores:
W = 6,67 times 10^-11 times 1,99 times 10^30 times 3,34 times 10^23 times 7,453 times 10^-12
Primeiro, multiplicamos os coeficientes:
6,67 times 1,99 times 3,34 times 7,453 approx 6,67 times 1,99 = 13,27
13,27 times 3,34 = 44,34
44,34 times 7,453 approx 330,14
Agora, somamos os expoentes:
10^-11 times 10^30 = 10^19
10^19 times 10^23 = 10^42
10^42 times 10^-12 = 10^30
Então:
W approx 330,14 times 10^30

Resposta

O trabalho realizado pela força de gravitação do Sol sobre Mercúrio ao se mover do periélio ao afélio é aproximadamente $ 3,30 \times 10^{32} $ joules.

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