A posição mais próxima de um planeta em relação ao Sol é chamada de periélio e a mais distante é chamado de afélio. Essas posiçöes valem respectivamente 46 e 70 milhöes de quilômetros para o planeta Mercúrio, cuja massa é de
. Sabendo que a massa do Sol é
e que a constante
de gravitação vale
, calcule o trabalho realizado pela força de gravitação do Sol sobre Mercúrio quando este se move de seu periélio até seu afélio. (Dica: veja Exercício-exemplo 7.6.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre Mercúrio e como ele se move ao redor do Sol. Especificamente, queremos calcular o trabalho que a força de gravitação do Sol realiza quando Mercúrio vai do ponto mais próximo ao Sol (periélio) até o mais distante (afélio). Para resolver isso, vamos usar conceitos de trabalho em física, especialmente relacionados à energia potencial gravitacional. Precisamos das fórmulas da gravitação e entender como calcular o trabalho quando um objeto se move sob a influência de uma força gravitacional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a força de gravidade é uma força conservativa. Isso significa que o trabalho realizado por essa força depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido. A energia potencial gravitacional (U) entre o Sol e Mercúrio é dada por:
Onde:
- $ G $ é a constante gravitacional,
- $ M $ é a massa do Sol,
- $ m $ é a massa de Mercúrio,
- $ r $ é a distância entre eles.
Passo 3
Como queremos o trabalho realizado pela gravidade quando Mercúrio vai do periélio ($ r_1
r_2 $), usamos a mudança na energia potencial:
Substituindo a expressão de $ U $:
Passo 4
Agora, vamos converter as distâncias de km para metros, já que a constante $ G $ está em unidades do SI:
- $ r_1 = 46 \times 10^{6} $ km = $ 46 \times 10^{9} $ m
- $ r_2 = 70 \times 10^{6} $ km = $ 70 \times 10^{9} $ m
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula do trabalho:
Passo 6
Primeiro, calculamos a parte das frações das distâncias:
Então:
Passo 7
Agora, multiplicamos todos os valores:
Primeiro, multiplicamos os coeficientes:
Agora, somamos os expoentes:
Então:
Resposta
O trabalho realizado pela força de gravitação do Sol sobre Mercúrio ao se mover do periélio ao afélio é aproximadamente $ 3,30 \times 10^{32} $ joules.