Um objeto com temperatura T(t) está resfriando em um ambiente com temperatura constante T_{\text {amb }}.
(a) De acordo com a lei do resfriamento de Newton, a taxa de variação da temperatura do objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. Use essa lei para encontrar a equação diferencial que descreve a temperatura T(t) do objeto em qualquer instante.
(b) O café está a uma temperatura de 90^{\circ} \mathrm{C} logo depois de coado, um minuto depois, passa pra uma temperatura de 85^{\circ} \mathrm{C}, em uma cozinha que está à 25^{\circ} \mathrm{C}. Encontre a temperatura do café em função do tempo e o tempo que levará para o café chegar a 60^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informações fornecidas:
    • A temperatura do objeto (função do tempo) é T(t).
    • A temperatura ambiente é constante e igual a T_{\text{amb}}.
    • Para o caso do café: T(0)=90^\circ\text{C}, T(1)=85^\circ\text{C} (onde o tempo está em minutos) e T_{\text{amb}}=25^\circ\text{C}.
  • Perguntas pedidas:
    • (a) Escrever a equação diferencial que descreve T(t) segundo a lei do resfriamento dada (taxa proporcional à diferença entre T e T_{\text{amb}}).
    • (b) Para o café: encontrar T(t) explicitamente e determinar o tempo necessário para que T(t)=60^\circ\text{C}.

Passo 2

Escrever matematicamente a lei do enunciado: “a taxa de variação da temperatura é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente”. Isso significa que existe uma constante positiva k tal que
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t)-T_{\text{amb}}\bigr).
Explicação das notações e do sinal:
  • \dfrac{dT}{dt} é a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo.
  • T(t)-T_{\text{amb}} é a diferença de temperatura que dirige o resfriamento.
  • O sinal negativo aparece porque, quando T(t)>T_{\text{amb}}, a temperatura do objeto diminui, logo \dfrac{dT}{dt}<0.
  • A constante k>0 mede a rapidez do resfriamento (unidade: \text{min}^{-1} no nosso caso, já que o tempo é dado em minutos).

Passo 3

Resolver a equação diferencial obtida. Trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem que é separável. Procedimento passo a passo:
Separar as variáveis:
\frac{dT}{T-T_{\text{amb}}} = -k\,dt.
Integrar os dois lados (integrais indefinidas):
\int \frac{dT}{T-T_{\text{amb}}} = \int -k\,dt.
A integral do lado esquerdo é \ln\bigl|T-T_{\text{amb}}\bigr| e a do lado direito é -kt + C, onde C é constante de integração. Assim,
\ln\bigl|T-T_{\text{amb}}\bigr| = -kt + C.
Exponenciando ambos os lados obtemos a forma geral da solução:
T(t)-T_{\text{amb}} = C_1 e^{-kt},
onde C_1=\pm e^{C} é uma constante real. Como geralmente T(t) estará acima ou abaixo de T_{\text{amb}} de forma contínua, podemos escrever
T(t) = T_{\text{amb}} + C_1 e^{-kt}.
Comentário prático: quando t\to\infty tem-se e^{-kt}\to 0, portanto T(t)\to T_{\text{amb}}, o que faz sentido físico (o objeto atinge a temperatura ambiente).

Passo 4

Aplicar as condições iniciais do café para determinar a constante C_1 e o coeficiente k.
Usando t=0 e T(0)=90^\circ\text{C}:
90 = 25 + C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = 90-25 = 65.
Portanto a solução passa a ser
T(t) = 25 + 65 e^{-kt}.
Agora usar a informação T(1)=85^\circ\text{C} para determinar k. Substituindo t=1:
85 = 25 + 65 e^{-k}.
Isolando o exponencial:
65 e^{-k} = 85-25 = 60 \quad\Rightarrow\quad e^{-k} = \frac{60}{65} = \frac{12}{13}.
Tomando logaritmo natural,
-k = \ln\!\left(\frac{12}{13}\right)\quad\Rightarrow\quad k = -\ln\!\left(\frac{12}{13}\right) = \ln\!\left(\frac{13}{12}\right).
Observação de unidades: aqui k tem unidade \text{min}^{-1}. Numericamente,
k \approx 0,08004\\ \text{min}^{-1}.

Passo 5

Escrever a temperatura do café como função do tempo usando a forma que obtivemos e o valor de k. Podemos usar a forma com potência, lembrando que e^{-k}=\dfrac{12}{13}, então e^{-kt}=\left(\dfrac{12}{13}\right)^t. Assim:
T(t) = 25 + 65 e^{-kt} = 25 + 65\left(\frac{12}{13}\right)^t.
Também, em forma com k explícito,
T(t) = 25 + 65 e^{-\ln\!\left(\tfrac{13}{12}\right)\,t}.
Comentário rápido de interpretação: no instante t=0 tem T(0)=25+65=90^\circ\text{C}, e conforme t cresce a potência \left(\tfrac{12}{13}\right)^t decai exponencialmente, aproximando T(t) de 25^\circ\text{C}.

Passo 6

Calcular o tempo necessário para o café atingir 60^\circ\text{C}. Resolver T(t)=60:
Começar pela equação
60 = 25 + 65 e^{-kt}.
Isolando o exponencial:
65 e^{-kt} = 60-25 = 35 \quad\Rightarrow\quad e^{-kt} = \frac{35}{65} = \frac{7}{13}.
Aplicando logaritmo natural:
-kt = \ln\!\left(\frac{7}{13}\right)\quad\Rightarrow\quad t = \frac{\ln\!\left(\tfrac{7}{13}\right)}{-k}.
Usando k = \ln\!\left(\tfrac{13}{12}\right) (logo -k=\ln\!\left(\tfrac{12}{13}\right)) obtemos a forma simples
t = \frac{\ln\!\left(\tfrac{7}{13}\right)}{\ln\!\left(\tfrac{12}{13}\right)}.
Cálculo numérico:
t \approx \frac{\ln\!(0,5384615)}{\ln\!(0,9230769)} \approx \frac{-0,61904}{-0,08004} \approx 7,74\\ \text{min}.
Interpretação: levará cerca de 7,7 minutos desde o coamento até o café esfriar a 60^\circ\text{C}.

Resposta

(a) \dfrac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t)-T_{\text{amb}}\bigr).
(b) T(t)=25+65\left(\dfrac{12}{13}\right)^{t} (temperatura em ^\circ\text{C}, t em minutos).
Tempo para T(t)=60^\circ\text{C}: t=\dfrac{\ln\!\left(\tfrac{7}{13}\right)}{\ln\!\left(\tfrac{12}{13}\right)}\approx 7,74\\ \text{min}.

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