(\mathbf{1 , 0}) Considere um drone subindo verticalmente, cuja aceleração é controlada eletronicamente e varia com o tempo de acordo com a lei
y^{\prime \prime}(t)=7-5 e^{-t}
em que y(t) representa a altura em metros e t o tempo em segundos. Sabendo que o drone parte do solo com velocidade inicial 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine a expressão de y(t).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a aceleração do drone satisfaz y''(t)=7-5e^{-t}.
  • Dado: o drone parte do solo, isto é y(0)=0.
  • Dado: velocidade inicial y'(0)=3\\ \text{m/s}.
  • Pedido: determinar a expressão de \,y(t)\, para todo t.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do que vamos fazer): a equação dada é uma equação diferencial de segunda ordem com o lado direito conhecido como função de t. Para encontrar y(t) integramos essa relação duas vezes no tempo. Integração é o processo de obter uma primitiva (antiderivada): se \,f'(t)=g(t) então \,f(t)=\int g(t)\,dt + C, onde C é constante. Vamos integrar termo a termo usando linearidade da integral.

Passo 3

Primeira integração: obter y'(t) a partir de y''(t).
Integrando ambos os lados em relação a t:
y'(t)=\int\bigl(7-5e^{-t}\bigr)\,dt.
Usando que \int 7\,dt = 7t + C e \int e^{-t}\,dt = -e^{-t}+C, temos
y'(t)=7t -5\bigl(-e^{-t}\bigr)+C_1.
Simplificando:
y'(t)=7t+5e^{-t}+C_1.
Aqui C_1 é a constante de integração que será determinada pela condição inicial da velocidade.

Passo 4

Aplicar a condição inicial y'(0)=3 para achar C_1.
Calcule y'(0) usando a expressão encontrada:
y'(0)=7\cdot 0 + 5e^{0} + C_1 = 5 + C_1.
Como y'(0)=3, segue
5 + C_1 = 3 \quad\Rightarrow\quad C_1 = -2.
Portanto a expressão de y'(t) fica
y'(t)=7t+5e^{-t}-2.

Passo 5

Segunda integração: obter y(t) a partir de y'(t).
Integramos termo a termo:
y(t)=\int\bigl(7t+5e^{-t}-2\bigr)\,dt.
Calcule cada integral separadamente:
  • \displaystyle \int 7t\,dt = \frac{7}{2}t^2.
  • \displaystyle \int 5e^{-t}\,dt = 5\cdot(-e^{-t}) = -5e^{-t}.
  • \displaystyle \int (-2)\,dt = -2t.
Somando e incluindo a constante de integração C_2:
y(t)=\frac{7}{2}t^2 -2t -5e^{-t} + C_2.

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(0)=0 para achar C_2.
Calcule y(0):
y(0)=\frac{7}{2}\cdot 0^2 -2\cdot 0 -5e^{0} + C_2 = -5 + C_2.
Como y(0)=0, obtemos
-5 + C_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_2 = 5.
Assim a solução final é
y(t)=\frac{7}{2}t^2 -2t -5e^{-t} + 5.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando y(t) temos
y'(t)=7t -2 +5e^{-t},
e derivando novamente
y''(t)=7 -5e^{-t},
que é exatamente a aceleração dada. As condições iniciais também são satisfeitas.

Resposta

y(t)=\frac{7}{2}t^2-2t-5e^{-t}+5

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