Considere um drone subindo verticalmente, cuja aceleração é controlada eletronicamente e varia com o tempo de acordo com a lei
em que
representa a altura em metros e
o tempo em segundos. Sabendo que o drone parte do solo com velocidade inicial
, determine a expressão de
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: a aceleração do drone satisfaz
- Dado: o drone parte do solo, isto é
- Dado: velocidade inicial
- Pedido: determinar a expressão de
para todo .
Passo 2
Estratégia (explicação didática do que vamos fazer): a equação dada é uma equação diferencial de segunda ordem com o lado direito conhecido como função de
. Para encontrar
integramos essa relação duas vezes no tempo. Integração é o processo de obter uma primitiva (antiderivada): se
então
, onde
é constante. Vamos integrar termo a termo usando linearidade da integral.
Passo 3
Primeira integração: obter
a partir de
.
Integrando ambos os lados em relação a
:
Usando que
e
, temos
Simplificando:
Aqui
é a constante de integração que será determinada pela condição inicial da velocidade.
Passo 4
Aplicar a condição inicial
para achar
.
Calcule
usando a expressão encontrada:
Como
, segue
Portanto a expressão de
fica
Passo 5
Segunda integração: obter
a partir de
.
Integramos termo a termo:
Calcule cada integral separadamente:
Somando e incluindo a constante de integração
:
Passo 6
Aplicar a condição inicial
para achar
.
Calcule
:
Como
, obtemos
Assim a solução final é
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando
temos
e derivando novamente
que é exatamente a aceleração dada. As condições iniciais também são satisfeitas.