Um carro possui preço à vista igual a R 250.000,00 e foi vendido em 84 parcelas mensais e iguais. Sabe-se que a taxa de juros praticada pela loja é deé2 %$ a.m. Responda:
Qual foi o valor da prestação caso tenha sido dada uma entrada de \operatorname{R\ 60.000,00~e}$ a primeira parcela do financiamento tenha sido paga 210 dias após a compra?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa:
  • Preço à vista do carro: \operatorname{R\$}\\\ 250.000{,}00.
  • Foi dada uma entrada de \operatorname{R\$}\\\ 60.000{,}00.
  • O restante foi financiado em 84 parcelas mensais e iguais.
  • Taxa de juros: 2\% ao mês, ou seja i=0{,}02.
  • A primeira parcela foi paga 210 dias após a compra.
Pergunta: Qual foi o valor da prestação mensal (valor de cada uma das 84 parcelas)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Valor financiado (principal) imediatamente após a entrada: 250.000{,}00 - 60.000{,}00 = \operatorname{R\$}\\\ 190.000{,}00.
  • A taxa mensal é i=0{,}02.
  • Número de parcelas: n=84.
  • Primeiro pagamento ocorreu 210 dias após a compra. Assumindo mês comercial de 30 dias (prática usual em cálculos financeiros), 210 dias correspondem a 210/30=7 meses. Então o fluxo de prestações é diferido: a primeira prestação ocorre em k=7 meses.

Passo 2

Estratégia e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Quando se tem uma série de n prestações mensais iguais de valor A pagas com taxa mensal i, o valor presente (no momento imediatamente antes do primeiro pagamento, isto é, no tempo “um período antes do primeiro fluxo”) dessa anuidade é
a_{\overline{n}|}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Explicando cada coisa:
  • A é o valor de cada parcela (o que queremos achar).
  • n é o número total de parcelas ( 84).
  • i é a taxa por período ( 0{,}02).
  • a_{\overline{n}|} é o “fator de valor presente” de uma anuidade imediata de n pagamentos (começando um período depois do ponto onde se calcula o PV).
Se a anuidade não começa no mês seguinte à data de avaliação, mas é diferida k meses (primeiro pagamento em k), então o valor presente no instante 0 (data da compra) vale
\text{PV}_0 = A \cdot (1+i)^{-k}\cdot a_{\overline{n}|}.
Aqui (1+i)^{-k} desloca para trás (desconta) o valor presente da anuidade que começa no tempo k.
No nosso caso, o valor financiado F no instante da compra (após a entrada) deve ser igual a esse valor presente:
F = 190.000 = A \cdot (1+i)^{-k}\cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Isolando A:
A = \frac{F\,(1+i)^{k}}{\,\dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}\,} = F\,(1+i)^{k}\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.
Isso é intuitivo: aumenta-se o saldo F para o instante imediatamente anterior ao 1.º pagamento multiplicando por (1+i)^{k}; então dividimos pelo fator que dá quantas unidades de pagamento equivalem a 1 de capital naquele instante.

Passo 3

Substituir os valores conhecidos na fórmula e organizar o cálculo:
  • F=190.000.
  • i=0{,}02.
  • k=7.
  • n=84.
A fórmula que vamos calcular é
A = 190.000\,(1{,}02)^{7}\cdot\frac{0{,}02}{1-(1{,}02)^{-84}}.
Para calcular passo a passo precisamos de:
  1. (1{,}02)^{7}.
  2. (1{,}02)^{-84} (ou equivalentemente (1{,}02)^{84} e depois inverter).
  3. montar o denominador 1-(1{,}02)^{-84} e dividir.

Passo 4

Calcular (1{,}02)^{7} de forma direta (multiplicações sucessivas, procedimento que dá para fazer sem calculadora se necessário):
Cálculo iterativo:
\begin{aligned} (1{,}02)^1 &= 1{,}02,\\\ (1{,}02)^2 &= 1{,}0404,\\\ (1{,}02)^3 &= 1{,}061208,\\\ (1{,}02)^4 &= 1{,}08243216,\\\ (1{,}02)^5 &= 1{,}1040808032,\\\ (1{,}02)^6 &= 1{,}1261624193,\\\ (1{,}02)^7 &= 1{,}1486856677\\ (\text{aprox.}). \end{aligned}
Portanto (1{,}02)^{7}\approx 1{,}1486856677.

Passo 5

Calcular (1{,}02)^{-84} e o fator de anuidade a_{\overline{84}|}.
Uma forma prática (sem listar 84 multiplicações) é usar logaritmos ou reconhecer que (1{,}02)^{84}=\exp(84\ln(1{,}02)). Fazendo o cálculo aproximado obtemos
(1{,}02)^{84}\approx 5{,}282\quad\Rightarrow\quad (1{,}02)^{-84}\approx 0{,}18934.
(na prova sem calculadora pode recorrer a tabelas financeiras ou calculadora financeira; aqui apresentamos o valor aproximado suficiente para obter centavos).
Agora o fator de anuidade:
a_{\overline{84}|}=\frac{1-(1{,}02)^{-84}}{0{,}02}=\frac{1-0{,}18934}{0{,}02}=\frac{0{,}81066}{0{,}02}\approx 40{,}533.

Passo 6

Substituir tudo na expressão de A e calcular passo a passo:
Usando (1{,}02)^{7}\approx 1{,}1486856677 e a_{\overline{84}|}\approx 40{,}533:
A = 190.000 \times 1{,}1486856677 \times \frac{0{,}02}{1-(1{,}02)^{-84}} = \frac{190.000\times 1{,}1486856677}{40{,}533}.
Calculemos o numerador:
190.000\times 1{,}1486856677 \approx 218.250{,}2769.
Agora a divisão:
A \approx \frac{218.250{,}2769}{40{,}533}\approx 5.384{,}50.
Portanto o valor da prestação mensal, arredondando para o centavo, é aproximadamente \operatorname{R\$}\\\ 5.384{,}50.

Passo 7

Interpretação rápida (para você fixar): O que fizemos foi considerar que o financiamento de \operatorname{R\$}\\\ 190.000{,}00 só começa a ser “amortizado” a partir do sétimo mês; por isso multiplicamos por (1{,}02)^{7} para trazer o saldo ao instante imediatamente anterior à 1.ª parcela, e então dividimos pelo fator que transforma uma série de 84 pagamentos em um valor presente naquele instante. Resultado: cada parcela deu aproximadamente \operatorname{R\$}\\\ 5.384{,}50. Força — com esse passo a passo você consegue refazer o cálculo na prova.

Resposta

\operatorname{R\$}\\\ 5.384{,}50

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