Um carro possui preço à vista igual a R250.000,00 e foi vendido em 84 parcelas mensais e iguais. Sabe-se que a taxa de juros praticada pela loja é de2 %$ a.m. Responda:
Qual foi o valor da prestação caso tenha sido dada uma entrada de \operatorname{R\ 60.000,00~e}$ a primeira parcela do financiamento tenha sido paga 210 dias após a compra?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa:
Preço à vista do carro: \operatorname{R\$}\\\ 250.000{,}00.
Foi dada uma entrada de \operatorname{R\$}\\\ 60.000{,}00.
O restante foi financiado em 84 parcelas mensais e iguais.
Taxa de juros: 2\% ao mês, ou seja i=0{,}02.
A primeira parcela foi paga 210 dias após a compra.
Pergunta: Qual foi o valor da prestação mensal (valor de cada uma das 84 parcelas)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Valor financiado (principal) imediatamente após a entrada: 250.000{,}00 - 60.000{,}00 = \operatorname{R\$}\\\ 190.000{,}00.
A taxa mensal é i=0{,}02.
Número de parcelas: n=84.
Primeiro pagamento ocorreu 210 dias após a compra. Assumindo mês comercial de 30 dias (prática usual em cálculos financeiros), 210 dias correspondem a 210/30=7 meses. Então o fluxo de prestações é diferido: a primeira prestação ocorre em k=7 meses.
Passo 2
Estratégia e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Quando se tem uma série de n prestações mensais iguais de valor A pagas com taxa mensal i, o valor presente (no momento imediatamente antes do primeiro pagamento, isto é, no tempo “um período antes do primeiro fluxo”) dessa anuidade é
a_{\overline{n}|}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Explicando cada coisa:
A é o valor de cada parcela (o que queremos achar).
n é o número total de parcelas (84).
i é a taxa por período (0{,}02).
a_{\overline{n}|} é o “fator de valor presente” de uma anuidade imediata de n pagamentos (começando um período depois do ponto onde se calcula o PV).
Se a anuidade não começa no mês seguinte à data de avaliação, mas é diferida k meses (primeiro pagamento em k), então o valor presente no instante 0 (data da compra) vale
\text{PV}_0 = A \cdot (1+i)^{-k}\cdot a_{\overline{n}|}.
Aqui (1+i)^{-k} desloca para trás (desconta) o valor presente da anuidade que começa no tempo k.
No nosso caso, o valor financiado F no instante da compra (após a entrada) deve ser igual a esse valor presente:
F = 190.000 = A \cdot (1+i)^{-k}\cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Isolando A:
A = \frac{F\,(1+i)^{k}}{\,\dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}\,} = F\,(1+i)^{k}\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.
Isso é intuitivo: aumenta-se o saldo F para o instante imediatamente anterior ao 1.º pagamento multiplicando por (1+i)^{k}; então dividimos pelo fator que dá quantas unidades de pagamento equivalem a 1 de capital naquele instante.
Passo 3
Substituir os valores conhecidos na fórmula e organizar o cálculo:
F=190.000.
i=0{,}02.
k=7.
n=84.
A fórmula que vamos calcular é
A = 190.000\,(1{,}02)^{7}\cdot\frac{0{,}02}{1-(1{,}02)^{-84}}.
Para calcular passo a passo precisamos de:
(1{,}02)^{7}.
(1{,}02)^{-84} (ou equivalentemente (1{,}02)^{84} e depois inverter).
montar o denominador 1-(1{,}02)^{-84} e dividir.
Passo 4
Calcular (1{,}02)^{7} de forma direta (multiplicações sucessivas, procedimento que dá para fazer sem calculadora se necessário):
Calcular (1{,}02)^{-84} e o fator de anuidade a_{\overline{84}|}.
Uma forma prática (sem listar 84 multiplicações) é usar logaritmos ou reconhecer que (1{,}02)^{84}=\exp(84\ln(1{,}02)). Fazendo o cálculo aproximado obtemos
(na prova sem calculadora pode recorrer a tabelas financeiras ou calculadora financeira; aqui apresentamos o valor aproximado suficiente para obter centavos).
A \approx \frac{218.250{,}2769}{40{,}533}\approx 5.384{,}50.
Portanto o valor da prestação mensal, arredondando para o centavo, é aproximadamente \operatorname{R\$}\\\ 5.384{,}50.
Passo 7
Interpretação rápida (para você fixar): O que fizemos foi considerar que o financiamento de \operatorname{R\$}\\\ 190.000{,}00 só começa a ser “amortizado” a partir do sétimo mês; por isso multiplicamos por (1{,}02)^{7} para trazer o saldo ao instante imediatamente anterior à 1.ª parcela, e então dividimos pelo fator que transforma uma série de 84 pagamentos em um valor presente naquele instante. Resultado: cada parcela deu aproximadamente \operatorname{R\$}\\\ 5.384{,}50. Força — com esse passo a passo você consegue refazer o cálculo na prova.