Exercício 3 - Mostre que o ajuste de n pontos (
) a uma reta passando pela origem,
implica em
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o melhor ajuste por mínimos quadrados de
pontos
por uma reta que passa pela origem tem coeficiente angular
dado por
Informações relevantes fornecidas:
- Temos
pares de pontos com . - O modelo ajustado é uma reta que passa pela origem, ou seja, sua equação é
, com desconhecido. - Queremos demonstrar explicitamente a fórmula para
.
Passo 2
Definimos o erro (resíduo) de cada ponto em relação à reta ajustada. O resíduo para o ponto
é a diferença entre o valor observado
e o valor previsto pela reta
. Escrevemos:
Explicação:
mede o quanto o ponto
“foge” da reta. Se
, o ponto está exatamente sobre a reta; se
, há desvio.
Passo 3
Na metodologia dos mínimos quadrados queremos escolher
que minimize a soma dos quadrados dos resíduos. Isso evita cancelamentos entre resíduos positivos e negativos e penaliza desvios maiores. Definimos a função objetivo
Aqui
é uma função do único parâmetro
. O problema de ajuste transforma-se em encontrar
que minimiza
.
Passo 4
Vamos manipular algebraicamente
para facilitar a diferenciação. Expandindo o quadrado de cada termo:
Como soma é linear, podemos separar:
Observação didática:
não depende de
; os dois últimos termos dependem de
.
Passo 5
Para encontrar o mínimo de
derivamos
em relação a
e igualamos a zero (condição necessária para extremo). Calculamos a derivada termo a termo:
Explicação do cálculo: a derivada de
em relação a
é
(pois
é constante) e a derivada de
é
.
Passo 6
Impondo a condição de extremo, igualamos a derivada a zero:
Dividindo ambos os lados por
e isolando
obtemos:
portanto
Passo 7
Verificação que é mínimo (e não máximo): calculamos a segunda derivada de
em relação a
:
Como
e é estritamente positiva salvo no caso degenerado em que todos os
, temos
. Se existir pelo menos um
, a soma é positiva e a segunda derivada é positiva, garantindo que o ponto crítico é um mínimo. Observação: se todos os
a reta
é a linha
para qualquer
e o denominador seria zero; nesse caso o ajuste pela forma dada não é significativo.
Passo 8
Dicas práticas para a prova: na hora, escreva claramente os resíduos
, forme
, expanda, derive em relação a
, iguale a zero e isole
. Sempre verifique se o denominador
não é zero (ou seja, confirme que nem todos os
são nulos).