Exercício 3 - Mostre que o ajuste de n pontos ( \mathrm{x}_{\mathrm{i}}, \mathrm{y}_{\mathrm{i}} ) a uma reta passando pela origem, y=\gamma x implica em
\gamma=\Sigma_{\mathrm{i}}\left(x_{i} y_{i}\right) / \Sigma_{\mathrm{i}}\left(x_{i}\right)^{2} .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o melhor ajuste por mínimos quadrados de n pontos (x_i,y_i) por uma reta que passa pela origem tem coeficiente angular \gamma dado por
\gamma=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i y_i}{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Temos n pares de pontos (x_i,y_i) com i=1,\dots,n.
  • O modelo ajustado é uma reta que passa pela origem, ou seja, sua equação é y=\gamma x, com \gamma desconhecido.
  • Queremos demonstrar explicitamente a fórmula para \gamma.

Passo 2

Definimos o erro (resíduo) de cada ponto em relação à reta ajustada. O resíduo para o ponto i é a diferença entre o valor observado y_i e o valor previsto pela reta \gamma x_i. Escrevemos:
r_i = y_i - \gamma x_i.
Explicação: r_i mede o quanto o ponto i “foge” da reta. Se r_i=0, o ponto está exatamente sobre a reta; se r_i\neq0, há desvio.

Passo 3

Na metodologia dos mínimos quadrados queremos escolher \gamma que minimize a soma dos quadrados dos resíduos. Isso evita cancelamentos entre resíduos positivos e negativos e penaliza desvios maiores. Definimos a função objetivo
S(\gamma) = \sum_{i=1}^{n} r_i^2 = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \gamma x_i)^2.
Aqui S(\gamma) é uma função do único parâmetro \gamma. O problema de ajuste transforma-se em encontrar \gamma que minimiza S(\gamma).

Passo 4

Vamos manipular algebraicamente S(\gamma) para facilitar a diferenciação. Expandindo o quadrado de cada termo:
S(\gamma) = \sum_{i=1}^{n} \big(y_i^2 - 2\gamma x_i y_i + \gamma^2 x_i^2\big).
Como soma é linear, podemos separar:
S(\gamma) = \sum_{i=1}^{n} y_i^2 - 2\gamma \sum_{i=1}^{n} x_i y_i + \gamma^2 \sum_{i=1}^{n} x_i^2.
Observação didática: \sum_{i=1}^{n} y_i^2 não depende de \gamma; os dois últimos termos dependem de \gamma.

Passo 5

Para encontrar o mínimo de S(\gamma) derivamos S em relação a \gamma e igualamos a zero (condição necessária para extremo). Calculamos a derivada termo a termo:
\frac{dS}{d\gamma} = -2 \sum_{i=1}^{n} x_i y_i + 2\gamma \sum_{i=1}^{n} x_i^2.
Explicação do cálculo: a derivada de -2\gamma \sum x_i y_i em relação a \gamma é -2\sum x_i y_i (pois \sum x_i y_i é constante) e a derivada de \gamma^2 \sum x_i^2 é 2\gamma \sum x_i^2.

Passo 6

Impondo a condição de extremo, igualamos a derivada a zero:
-2 \sum_{i=1}^{n} x_i y_i + 2\gamma \sum_{i=1}^{n} x_i^2 = 0.
Dividindo ambos os lados por 2 e isolando \gamma obtemos:
\gamma \sum_{i=1}^{n} x_i^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i,
portanto
\gamma = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i y_i}{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}.

Passo 7

Verificação que é mínimo (e não máximo): calculamos a segunda derivada de S em relação a \gamma:
\frac{d^2S}{d\gamma^2} = 2\sum_{i=1}^{n} x_i^2.
Como \sum_{i=1}^{n} x_i^2\ge 0 e é estritamente positiva salvo no caso degenerado em que todos os x_i=0, temos \frac{d^2S}{d\gamma^2}\ge 0. Se existir pelo menos um x_i\neq 0, a soma é positiva e a segunda derivada é positiva, garantindo que o ponto crítico é um mínimo. Observação: se todos os x_i=0 a reta y=\gamma x é a linha y=0 para qualquer \gamma e o denominador seria zero; nesse caso o ajuste pela forma dada não é significativo.

Passo 8

Dicas práticas para a prova: na hora, escreva claramente os resíduos r_i=y_i-\gamma x_i, forme S(\gamma)=\sum r_i^2, expanda, derive em relação a \gamma, iguale a zero e isole \gamma. Sempre verifique se o denominador \sum x_i^2 não é zero (ou seja, confirme que nem todos os x_i são nulos).

Resposta

\gamma=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i y_i}{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}.

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