Exercício 2 - Ajuste uma reta ao seguinte conjunto de pontos:
x_{i} 0.30 0.75 0.90 0.98 1.23 1.50 1.77
y_{i} -5.031 -4.9275 -4.893 -4.8746 -4.8171 -4.755 -4.6929

Passo 1

O enunciado pede para ajustar uma reta ao conjunto de pontos fornecido na tabela. As perguntas implícitas são: qual é a reta ajustada (no sentido dos mínimos quadrados) e quais são os coeficientes da reta?
Peguei os dados diretamente da tabela do enunciado:
\begin{array}{l|rrrrrrr} x_i & 0,30 & 0,75 & 0,90 & 0,98 & 1,23 & 1,50 & 1,77\\hline y_i & -5,031 & -4,9275 & -4,893 & -4,8746 & -4,8171 & -4,755 & -4,6929 \end{array}

Passo 2

Modelo que vamos ajustar: uma reta do tipo [\hat{y}=a+bx), onde:
  • \hat{y} é o valor previsto pela reta para um dado x,
  • a é o intercepto (valor de \hat{y} quando x=0),
  • b é a inclinação (quanto \hat{y} muda quando x aumenta de uma unidade).
Método dos mínimos quadrados (explicação didática): escolhemos a e b que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos
S(a,b)=\sum_{i=1}^{n}\big(y_i-(a+bx_i)\big)^2.
Derivando parcialmente S em relação a a e b e igualando a zero obtemos as equações normais:
\begin{cases} \displaystyle n a + b\sum_{i=1}^n x_i = \sum_{i=1}^n y_i,\\[6pt] \displaystyle a\sum_{i=1}^n x_i + b\sum_{i=1}^n x_i^2 = \sum_{i=1}^n x_i y_i. \end{cases}
Resolvem-se essas equações para a\] e \(b. As fórmulas diretas resultantes são:
\displaystyle b=\frac{n\sum x_i y_i - \big(\sum x_i\big)\big(\sum y_i\big)}{n\sum x_i^2 - \big(\sum x_i\big)^2}, \qquad \displaystyle a=\frac{\sum y_i - b\sum x_i}{n}.
Aqui n é o número de pontos (aqui n=7), \sum x_i é a soma dos x, \sum y_i soma dos y, \sum x_i^2 soma dos quadrados dos x e \sum x_i y_i soma dos produtos x_i y_i. Vou calcular essas somas passo a passo.]

Passo 3

Calcular as somas necessárias (usei os dados da tabela):
Número de pontos:
n=7.
Soma dos x_i:
\sum x_i = 0,30+0,75+0,90+0,98+1,23+1,50+1,77 = 7,43.
Soma dos y_i:
\sum y_i = -5,031-4,9275-4,893-4,8746-4,8171-4,755-4,6929 = -33,9911.
Soma dos quadrados dos x_i (cada termo calculado e somado):
\sum x_i^2 = 0,30^2+0,75^2+0,90^2+0,98^2+1,23^2+1,50^2+1,77^2
=0,09+0,5625+0,81+0,9604+1,5129+2,25+3,1329 = 9,3187.
Soma dos produtos x_i y_i (cada produto calculado e somado):
\sum x_i y_i =
0,30\cdot(-5,031)+0,75\cdot(-4,9275)+0,90\cdot(-4,893)+0,98\cdot(-4,8746)
\quad+1,23\cdot(-4,8171)+1,50\cdot(-4,755)+1,77\cdot(-4,6929)
= -1,5093-3,695625-4,4037-4,777108-5,925033-7,1325-8,305333
= -35,748599.
Resumo das somas (valores usados abaixo):
\sum x_i = 7,43,\qquad \sum y_i = -33,9911,\qquad \sum x_i^2 = 9,3187,\qquad \sum x_i y_i = -35,748599.

Passo 4

Calcular a inclinação b usando a fórmula:
b=\frac{n\sum x_i y_i - \big(\sum x_i\big)\big(\sum y_i\big)}{n\sum x_i^2 - \big(\sum x_i\big)^2}.
Substituindo os números:
\text{numerador} = 7\cdot(-35,748599) - (7,43)\cdot(-33,9911) = -250,240193 - (-252,553873) = 2,313680.
\text{denominador} = 7\cdot 9,3187 - (7,43)^2 = 65,2309 - 55,2049 = 10,0260.
b=\frac{2,313680}{10,0260}\approx 0,2308.
Explanação rápida: o numerador mede a covariação entre x e y (ajustada por n), e o denominador é proporcional à variância dos x. Dividir dá a inclinação.

Passo 5

Calcular o intercepto a com a fórmula
a=\frac{\sum y_i - b\sum x_i}{n}.
Substituindo:
b\sum x_i \approx 0,2308\cdot 7,43 \approx 1,7147.
\sum y_i - b\sum x_i \approx -33,9911 - 1,7147 = -35,7058.
a \approx \frac{-35,7058}{7} \approx -5,1008.
Interpretação: a é o valor previsto quando x=0; aqui é aproximadamente -5,1008.

Passo 6

Escrevendo a reta ajustada com os coeficientes encontrados (arredondados a 4 casas decimais para leitura prática):
\hat{y}=a+bx \approx -5,1008 + 0,2308\,x.
Pequena verificação rápida: para x=0,98 a reta prevê \hat{y}\approx -5,1008+0,2308\cdot 0,98\approx -4,8740, que está muito próximo do y observado -4,8746, indicando bom ajuste.

Resposta

\hat{y}=-5,1008+0,2308\,x

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