(OBM/2000) É possível encontrar duas potências de 2, distintas e com o mesmo número de algarismos, tais que uma possa ser obtida através de uma reordenação dos dígitos da outra?

Passo 1

O enunciado pergunta se existem dois expoentes inteiros a<b tais que as potências de 2, 2^a e 2^b, tenham
  1. o mesmo número de dígitos, e
  2. uma seja simplesmente uma reordenação dos dígitos da outra (isto é, são anagramas).
Para que duas números sejam anagramas, eles têm exatamente os mesmos dígitos com as mesmas multiplicidades. Em particular, têm a mesma soma de dígitos. Vamos usar a propriedade de congruência módulo 9 (que relaciona soma de dígitos e valor numérico) e a fórmula que dá o número de dígitos de 2^n.

Passo 2

Se 2^a e 2^b são anagramas, então têm a mesma soma de dígitos. Como a soma de dígitos de um número é congruente a esse número módulo 9, temos
2^a \equiv 2^b \pmod{9}
\implies 2^{b-a} \equiv 1 \pmod{9}.
O inverso multiplicativo de 2 em \bmod 9 tem ordem 6, pois
2^1\equiv2,\;2^2\equiv4,\;2^3\equiv8,\;2^4\equiv7,\;2^5\equiv5,\;2^6\equiv1\pmod9.
Logo, para 2^{b-a}\equiv1\pmod9 é necessário e suficiente que
b-a \equiv 0 \pmod{6},
isto é, b-a=6k para algum inteiro k\ge1.

Passo 3

Agora analisamos o número de dígitos de 2^n. Sabe-se que
\text{nº de dígitos de }2^n = \bigl\lfloor n\log_{10}(2)\bigr\rfloor + 1.ºí
Para dois expoentes a e b=a+6k com k\ge1, a diferença no número de dígitos é
\bigl(\lfloor b\log_{10}(2)\rfloor+1\bigr) - \bigl(\lfloor a\log_{10}(2)\rfloor+1\bigr) = \lfloor a\log_{10}(2) + 6k\log_{10}(2)\rfloor - \lfloor a\log_{10}(2)\rfloor.
Como \log_{10}(2)\approx0{,}3010, temos
6k\,\log_{10}(2)\approx6k\times0{,}3010=1{,}806\,k.
Para qualquer k\ge1, vale
6k\,\log_{10}(2)>1 \quad\Longrightarrow\quad \lfloor a\log_{10}(2) + 6k\log_{10}(2)\rfloor \;\ge\;\lfloor a\log_{10}(2)\rfloor + 1.
Portanto a diferença de dígitos é pelo menos 1. Logo não podem ter o mesmo número de dígitos.

Resposta

Não existe par de potências de 2 distintas, com o mesmo número de dígitos, que sejam anagramas uma da outra.

Exercícios relacionados