Restam, possivelmente, os termos soltos quando i=n ou, no caso n par, quando i=n/2. Mas
n^{k}\equiv0\pmod{n},
e se n for par o termo \bigl(n/2\bigr)^{k} = \dfrac{n^{k}}{2^{k}} também é múltiplo de n (pois k\ge1).
Logo, a soma de cada par e dos termos soltos é múltipla de n, ou seja, n\mid S.
Passo 3
Prova de que S é divisível por n+1 ou por \tfrac{n+1}{2}.
Para cada i com 1\le i\le n, considere o par \bigl(i,\;n+1-i\bigr). Como k é ímpar,