Prove que 11^{\mathrm{n}+2}+12^{2 \mathrm{n}+1} é divisível por 133 para qualquer \mathbf{n} natural.

Passo 1

O problema pede para mostrar que para todo n\in\mathbb{N} a soma
11^{n+2} + 12^{2n+1}
é múltipla de 133. Como 133 = 7 \cdot 19 e 7 e 19 são primos distintos, basta provar que a expressão é zero módulo 7 e zero módulo 19.

Passo 2

Verificação módulo 7. Note que
11 \equiv 4 \pmod{7}, \qquad 12 \equiv 5 \pmod{7}.
Logo,
11^{n+2} \equiv 4^{n+2}, \qquad 12^{2n+1} \equiv 5^{2n+1} = 5\,(5^2)^n = 5\cdot4^n \pmod{7}.
Somando,
11^{n+2} + 12^{2n+1} \equiv 4^{n+2} + 5\cdot4^n =4^n\bigl(4^2 +5\bigr) =4^n\cdot 21 \equiv 0 \pmod{7}.

Passo 3

Verificação módulo 19. Observamos que
12^2 = 144 \equiv 11 \pmod{19}.
Portanto
12^{2n+1} = 12\,(12^2)^n \equiv 12\cdot11^n \pmod{19}.
Também
11^{n+2} = 11^n\cdot11^2 = 11^n\cdot121.
Somando-se,
11^{n+2} + 12^{2n+1} \equiv 11^n\cdot121 + 12\cdot11^n =11^n\,(121 + 12) =11^n\cdot133 \equiv 0 \pmod{19}.

Passo 4

Como 11^{n+2}+12^{2n+1} é congruente a zero tanto mod 7 quanto mod 19, concluímos que é múltiplo de 7\cdot19=133.

Resposta

11^{n+2} + 12^{2n+1} é divisível por 133 para todo n\in\mathbb{N}.

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