OBRIGATÓRIA ( 2.0 ponto) Considere uma onda eletromagnética plana, emitida por uma estação de rádio em Teresina, propagando-se aproximadamente no vácuo na direção z e descrita por:
\vec{E}(z, t)=\vec{E}_{0} e^{i(k z-\omega t)}
(a) Mostre usando as equações de Maxweel (1) e (2) que as ondas eletromagnéticas são transversais, isto é:
\hat{z} \cdot \vec{E}=0 .
Dado:
\begin{gathered} \nabla=\hat{x} \partial / \partial x+\hat{y} \partial / \partial y+\hat{z} \partial / \partial z \\\ \nabla \cdot \vec{A}=\left(\partial A_{x} / \partial x\right)+\left(\partial A_{y} / \partial y\right)+\left(\partial A_{z} / \partial z\right) \end{gathered}
(b) Imagine que você precisa instalar uma antena receptora simples, do tipo dipolo, para captar o sinal desta rádio que se propaga na direção z.
Primeiramente, explique por que a antena não deve, em nenhuma hipótese, ser instalada na direção vertical (eixo z ). Em seguida, discuta quais seriam as possíveis orientações ideais para a antena no plano horizontal e do que a escolha final dependeria. Justifique toda a sua análise com base no princípio físico da interação entre o campo elétrico da onda e a antena.

Passo 1

O enunciado dá uma onda eletromagnética plana que se propaga na direção z e pede duas coisas:
  • (a) Mostrar, usando as equações de Maxwell (1) e (2), que as ondas eletromagnéticas são transversais, isto é, provar que \hat{z}\cdot\vec{E}=0.
  • (b) Explicar por que uma antena dipolo receptora não deve ser instalada na direção vertical (eixo z) e discutir as orientações ideais possíveis no plano horizontal, justificando com base na interação entre o campo elétrico da onda e a antena.
Informações dadas e condições úteis para a resolução:
\vec{E}(z,t)=\vec{E}_{0}\,e^{i(kz-\omega t)},
\nabla=\hat{x}\,\frac{\partial}{\partial x}+\hat{y}\,\frac{\partial}{\partial y}+\hat{z}\,\frac{\partial}{\partial z},
\nabla\cdot\vec{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}.
Também usaremos a equação de Maxwell no vácuo que expressa a ausência de cargas livres:
\nabla\cdot\vec{E}=0.

Passo 2

Primeiro vamos entender e usar a equação \nabla\cdot\vec{E}=0. Essa equação diz que, no vácuo sem cargas livres, a divergência do campo elétrico é zero em todo ponto. A divergência mede a taxa de “saída” líquida do campo de um ponto; matematicamente é a soma das derivadas parciais das componentes do campo nas direções coordenadas (isso foi dado no enunciado).
Vou calcular explicitamente \nabla\cdot\vec{E}(z,t) para a onda dada. Note que \vec{E}_0 é um vetor constante (amplitude complexa) e a dependência espacial/temporal está apenas no fator e^{i(kz-\omega t)}.
Calculemos a derivada parcial em x e y: como não há dependência de x nem de y na expressão, \partial/\partial x e \partial/\partial y do campo são zero. A única derivada não nula é em z.

Passo 3

Calcule a derivada em z. Usamos a regra da derivada de exponencial: \partial/\partial z\,e^{i(kz-\omega t)}=i k\,e^{i(kz-\omega t)}. Assim, a componente z da divergência fica:
\frac{\partial E_z}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\big(E_{0z}\,e^{i(kz-\omega t)}\big) = E_{0z}\, (i k)\, e^{i(kz-\omega t)} = i k E_{0z}\, e^{i(kz-\omega t)}.
Portanto a divergência completa é
\nabla\cdot\vec{E}(z,t)= i k E_{0z}\, e^{i(kz-\omega t)}.

Passo 4

Aplicando a condição de Maxwell no vácuo \nabla\cdot\vec{E}=0 obtemos
i k E_{0z}\, e^{i(kz-\omega t)} = 0.
O fator e^{i(kz-\omega t)} é nunca nulo, e i k é não nulo para uma onda com k\neq 0. Logo devemos ter
E_{0z}=0.
Como \vec{E}(z,t)=\vec{E}_0 e^{i(kz-\omega t)}, isso implica que a componente do campo elétrico na direção \hat z é nula para toda a onda. Portanto
\hat{z}\cdot\vec{E}(z,t)=0,
ou seja, a onda é transversal (o campo elétrico é perpendicular à direção de propagação).

Passo 5

Interpretação física e generalização curta (aula rápida): o passo algebraico mostrou que a amplitude do campo elétrico satisfaz \vec{k}\cdot\vec{E}_0=0 (aqui \vec{k}=k\hat z), que é a forma geral do requisito de transversalidade para ondas eletromagnéticas em vácuo: o vetor de campo elétrico é perpendicular ao vetor de onda \vec{k}. Em palavras leves: a oscilação do campo elétrico acontece no plano perpendicular à direção de propagação.

Passo 6

Agora parte (b): como um dipolo capta sinal? Intuitivamente, um dipolo linear (antena simples) é um fio condutor cuja extremidades têm diferença de potencial quando o campo elétrico projetado ao longo do fio força cargas a se moverem. Matematicamente, a tensão induzida aproximada na antena de comprimento L e eixo unitário \hat{u} é proporcional à integral do campo elétrico ao longo do fio:
V_\text{ind} \approx \int_{\text{antena}} \vec{E}\cdot d\vec{\ell} \approx L\,(\hat{u}\cdot\vec{E}),
quando L é pequeno comparado ao comprimento de onda e \vec{E} é aproximadamente constante sobre a antena. Assim a antena responde à projeção do campo elétrico na direção do seu eixo.

Passo 7

Aplicando isso ao nosso caso: como mostramos em (a) \hat{z}\cdot\vec{E}=0, a projeção do campo elétrico sobre um dipolo orientado no eixo z é nula, isto é,
V_\text{ind}\propto \hat{z}\cdot\vec{E}=0.
Portanto, uma antena dipolo colocada verticalmente (eixo z) não receberá sinal desta onda — ela não será excitada. É por isso que a antena não deve, em hipótese alguma, ser instalada na direção vertical.

Passo 8

Quais orientações no plano horizontal são ideais? Como \vec{E} está no plano transversal xy, suas componentes reais definem uma direção de polarização no plano horizontal. Se o transmissor emite com polarização linear bem definida (por exemplo \vec{E} ao longo de \hat{x}), a melhor orientação para o dipolo receptor é alinhar seu eixo \hat{u} exatamente com essa direção de \vec{E} (máxima projeção, máximo sinal). Se o dipolo for perpendicular à direção de \vec{E} (por exemplo dipolo ao longo de \hat{y} enquanto \vec{E} está ao longo de \hat{x}), o sinal recebido será nulo.

Passo 9

Na prática, a escolha final depende de:
  • Polarização transmitida: se o transmissor usa polarização linear conhecida (p.ex. norte-sul), alinhe a antena igual.
  • Se a polarização desconhecida ou variável (multipercurso/reflexões podem rotacionar a polarização), use uma solução que não dependa de uma única direção: por exemplo duas antenas ortogonais (dipolos cruzados) com um combinador ou um receptor que selecione a melhor, ou uma antena projetada para receber polarização circular se o sinal tiver componente rotativa. Essas estratégias garantem recepção mesmo quando a direção de \vec{E} varia.
  • Em resumo: preferir uma orientação horizontal alinhada com a polarização do transmissor; se não souber, usar dois dipolos ortogonais ou antena com resposta à polarização circular.

Passo 10

Exemplos simples para fixar a ideia:
  • Se \vec{E}_0 = E_0\hat{x}, então um dipolo ao longo de \hat{x} recebe V\propto E_0 (máximo), um ao longo de \hat{y} recebe V=0.
  • Se \vec{E}_0 gira no tempo (polarização circular), um único dipolo linear entrega sinal que oscila, logo duas antenas ortogonais com fase adequada capturam toda a energia.

Resposta

(a) \hat{z}\cdot\vec{E}=0.
(b) Não instalar a antena na direção vertical porque \hat{z}\cdot\vec{E}=0 implica acoplamento nulo (tensão induzida zero). Orientar a antena no plano horizontal alinhada com a direção de \vec{E} (polarização do transmissor) para receber sinal máximo; se a polarização for desconhecida ou variável, usar duas antenas dipolo ortogonais (ou antena para polarização circular) para garantir recepção.

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