OBRIGATÓRIA ( 2.0 ponto) Considere uma onda eletromagnética plana, emitida por uma estação de rádio em Teresina, propagando-se aproximadamente no vácuo na direção
e descrita por:
(a) Mostre usando as equações de Maxweel (1) e (2) que as ondas eletromagnéticas são transversais, isto é:
Dado:
(b) Imagine que você precisa instalar uma antena receptora simples, do tipo dipolo, para captar o sinal desta rádio que se propaga na direção
.
Primeiramente, explique por que a antena não deve, em nenhuma hipótese, ser instalada na direção vertical (eixo
). Em seguida, discuta quais seriam as possíveis orientações ideais para a antena no plano horizontal e do que a escolha final dependeria. Justifique toda a sua análise com base no princípio físico da interação entre o campo elétrico da onda e a antena.
Passo 1
O enunciado dá uma onda eletromagnética plana que se propaga na direção
e pede duas coisas:
-
(a) Mostrar, usando as equações de Maxwell (1) e (2), que as ondas eletromagnéticas são transversais, isto é, provar que
. -
(b) Explicar por que uma antena dipolo receptora não deve ser instalada na direção vertical (eixo
) e discutir as orientações ideais possíveis no plano horizontal, justificando com base na interação entre o campo elétrico da onda e a antena.
Informações dadas e condições úteis para a resolução:
Também usaremos a equação de Maxwell no vácuo que expressa a ausência de cargas livres:
Passo 2
Primeiro vamos entender e usar a equação
. Essa equação diz que, no vácuo sem cargas livres, a divergência do campo elétrico é zero em todo ponto. A divergência mede a taxa de “saída” líquida do campo de um ponto; matematicamente é a soma das derivadas parciais das componentes do campo nas direções coordenadas (isso foi dado no enunciado).
Vou calcular explicitamente
para a onda dada. Note que
é um vetor constante (amplitude complexa) e a dependência espacial/temporal está apenas no fator
.
Calculemos a derivada parcial em
e
: como não há dependência de
nem de
na expressão,
e
do campo são zero. A única derivada não nula é em
.
Passo 3
Calcule a derivada em
. Usamos a regra da derivada de exponencial:
. Assim, a componente
da divergência fica:
Portanto a divergência completa é
Passo 4
Aplicando a condição de Maxwell no vácuo
obtemos
O fator
é nunca nulo, e
é não nulo para uma onda com
. Logo devemos ter
Como
, isso implica que a componente do campo elétrico na direção
é nula para toda a onda. Portanto
ou seja, a onda é transversal (o campo elétrico é perpendicular à direção de propagação).
Passo 5
Interpretação física e generalização curta (aula rápida): o passo algebraico mostrou que a amplitude do campo elétrico satisfaz
(aqui
), que é a forma geral do requisito de transversalidade para ondas eletromagnéticas em vácuo: o vetor de campo elétrico é perpendicular ao vetor de onda
. Em palavras leves: a oscilação do campo elétrico acontece no plano perpendicular à direção de propagação.
Passo 6
Agora parte (b): como um dipolo capta sinal? Intuitivamente, um dipolo linear (antena simples) é um fio condutor cuja extremidades têm diferença de potencial quando o campo elétrico projetado ao longo do fio força cargas a se moverem. Matematicamente, a tensão induzida aproximada na antena de comprimento
e eixo unitário
é proporcional à integral do campo elétrico ao longo do fio:
quando
é pequeno comparado ao comprimento de onda e
é aproximadamente constante sobre a antena. Assim a antena responde à projeção do campo elétrico na direção do seu eixo.
Passo 7
Aplicando isso ao nosso caso: como mostramos em (a)
, a projeção do campo elétrico sobre um dipolo orientado no eixo
é nula, isto é,
Portanto, uma antena dipolo colocada verticalmente (eixo
) não receberá sinal desta onda — ela não será excitada. É por isso que a antena não deve, em hipótese alguma, ser instalada na direção vertical.
Passo 8
Quais orientações no plano horizontal são ideais? Como
está no plano transversal
, suas componentes reais definem uma direção de polarização no plano horizontal. Se o transmissor emite com polarização linear bem definida (por exemplo
ao longo de
), a melhor orientação para o dipolo receptor é alinhar seu eixo
exatamente com essa direção de
(máxima projeção, máximo sinal). Se o dipolo for perpendicular à direção de
(por exemplo dipolo ao longo de
enquanto
está ao longo de
), o sinal recebido será nulo.
Passo 9
Na prática, a escolha final depende de:
- Polarização transmitida: se o transmissor usa polarização linear conhecida (p.ex. norte-sul), alinhe a antena igual.
- Se a polarização desconhecida ou variável (multipercurso/reflexões podem rotacionar a polarização), use uma solução que não dependa de uma única direção: por exemplo duas antenas ortogonais (dipolos cruzados) com um combinador ou um receptor que selecione a melhor, ou uma antena projetada para receber polarização circular se o sinal tiver componente rotativa. Essas estratégias garantem recepção mesmo quando a direção de
varia. - Em resumo: preferir uma orientação horizontal alinhada com a polarização do transmissor; se não souber, usar dois dipolos ortogonais ou antena com resposta à polarização circular.
Passo 10
Exemplos simples para fixar a ideia:
- Se
, então um dipolo ao longo de recebe (máximo), um ao longo de recebe . - Se
gira no tempo (polarização circular), um único dipolo linear entrega sinal que oscila, logo duas antenas ortogonais com fase adequada capturam toda a energia.
Resposta
(a)
.
(b) Não instalar a antena na direção vertical porque
implica acoplamento nulo (tensão induzida zero). Orientar a antena no plano horizontal alinhada com a direção de
(polarização do transmissor) para receber sinal máximo; se a polarização for desconhecida ou variável, usar duas antenas dipolo ortogonais (ou antena para polarização circular) para garantir recepção.