OBRIGATÓRIA ( 2,0 pontos) Descreva fisicamente o que cada uma das 4 equações de Maxwell significa e quais foram as principais contribuições de Maxwell para a teoria.
\begin{gathered} \nabla \cdot \vec{E}=\rho / \epsilon_{0}, \\ \nabla \cdot \vec{B}=0, \\ \nabla \times \vec{B}=\mu_{0}\left(\vec{j}+\epsilon_{0} \partial \vec{E} / \partial t\right), \\ \nabla \times \vec{E}=-\partial \vec{B} / \partial t, \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá as quatro equações de Maxwell no formato diferencial:
\nabla\cdot\vec{E}=\rho/\epsilon_0,
\nabla\cdot\vec{B}=0,
\nabla\times\vec{B}=\mu_0\!\left(\vec{j}+\epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\right),
\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}.
Pede-se que eu descreva fisicamente o que cada uma das quatro equações significa e que indique as principais contribuições de Maxwell para a teoria.
Informações dadas que vou usar: as quatro equações acima, e os símbolos usuais: \vec{E} (campo elétrico), \vec{B} (campo magnético), \rho (densidade de carga), \vec{j} (densidade de corrente), \epsilon_0 (permitividade do vácuo), \mu_0 (permeabilidade do vácuo). Não há outras incógnitas no enunciado.

Passo 2

Antes de interpretar cada equação, preciso explicar duas operações vetoriais que aparecem nelas: divergência e rotacional (curl). Isso é essencial para entender fisicamente o que as equações dizem.
  • Divergência: para um campo vetorial \vec{F}(\vec{r}), a divergência \nabla\cdot\vec{F} mede a “taxa neta de saída” do campo por unidade de volume em um ponto. Intuição: imagine um pequeno cubinho ao redor do ponto; se mais linhas do campo saem do cubo do que entram, a divergência é positiva (há uma fonte); se mais entram do que saem, é negativa (há um “sumidouro”). Em termos integrais (Teorema da divergência):
\oint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{A}=\int_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV,
ou seja, fluxo total através da superfície fechada S é igual à integral da divergência no volume V.
  • Rotacional (curl): para um campo \vec{F}, o rotacional \nabla\times\vec{F} mede a tendência do campo a “rotacionar” ou produzir circulação local. Intuição: pegue um pequeno laço de área; a circulação do campo ao redor do laço, por unidade de área, tende para o componente do rotacional. Em termos integrais (Teorema de Stokes):
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{\ell}=\int_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{A},
onde C é a borda do superfície S.
Agora que sabemos o que são divergência e rotacional, conseguimos traduzir as equações para linguagem física.

Passo 3

Interpretação física da primeira equação
\nabla\cdot\vec{E}=\rho/\epsilon_0.
  • Forma física: esta é a Lei de Gauss para o campo elétrico em forma diferencial. Diz que a divergência do campo elétrico em um ponto (a taxa neta de linhas de campo saindo por unidade de volume) é proporcional à densidade de carga elétrica naquele ponto.
  • Forma integral equivalente (usando Teorema da divergência):
\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga elétrica contida no volume delimitado por S.
  • Interpretação simples: cargas elétricas são fontes (ou sumidouros, se negativas) das linhas de \vec{E}. Uma carga positiva faz linhas de campo saírem; negativa faz entrar.
  • Exemplo concreto: para uma carga pontual q no vácuo, a Lei de Gauss leva ao campo \vec{E}=(1/4\pi\epsilon_0)\,q\,\hat{r}/r^2 — a familiar lei do inverso do quadrado. A divergência de \vec{E} é zero em todos os pontos exceto no local da carga, onde surge a densidade \rho.

Passo 4

Interpretação física da segunda equação
\nabla\cdot\vec{B}=0.
  • Forma física: diz que a divergência do campo magnético é sempre zero em todo lugar. Não existem fontes ou sumidouros de \vec{B} análogos às cargas elétricas.
  • Forma integral equivalente:
\oint_{S}\vec{B}\cdot d\vec{A}=0
para qualquer superfície fechada S. Isso significa que o fluxo magnético total através de uma superfície fechada é nulo.
  • Interpretação simples: linhas de campo magnético são sempre fechadas (ou vão para o infinito em pares), não há monopolos magnéticos isolados (não existem “cargas magnéticas” do tipo norte ou sul isoladas).
  • Consequência prática: campos magnéticos típicos vêm de correntes elétricas (laços de corrente) ou dipolos magnéticos; você nunca encontra uma “única ponta norte” separada da sul.

Passo 5

Interpretação física da quarta equação (vou tratar a de Faraday antes da de Ampère-Maxwell para ligar com ondas)
\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}.
  • Esta é a Lei de Faraday em forma diferencial. Diz que campos magnéticos variáveis no tempo geram campos elétricos circulantes.
  • Forma integral (Teorema de Stokes):
\oint_{C}\vec{E}\cdot d\vec{\ell}=-\frac{d}{dt}\int_{S}\vec{B}\cdot d\vec{A}=-\frac{d\Phi_B}{dt},
onde \Phi_B é o fluxo magnético através da superfície S com fronteira C.
  • Interpretação simples e exemplo: quando o fluxo magnético através de uma bobina muda (por aproximação de um ímã, ou corrente variável), aparece uma força eletromotriz (fem) que induz uma corrente — fenômeno da indução eletromagnética. O sinal negativo é a manifestação da Lei de Lenz (a corrente induzida tende a se opor à mudança que a gerou).
  • Aplicações práticas: geradores, transformadores, e todo o princípio da indução.

Passo 6

Interpretação física da terceira equação (Lei de Ampère-Maxwell)
\nabla\times\vec{B}=\mu_0\!\left(\vec{j}+\epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\right).
  • Estrutura: o rotacional de \vec{B} é gerado por duas coisas: a densidade de corrente elétrica \vec{j} (termo \mu_0\vec{j}) e pela chamada corrente de deslocamento \mu_0\epsilon_0\partial\vec{E}/\partial t.
  • Forma integral (Ampère com correção de Maxwell):
\oint_{C}\vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_0 I_{\text{enc}}+\mu_0\epsilon_0\frac{d}{dt}\int_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A},
onde I_{\text{enc}} é a corrente elétrica que atravessa a superfície S.
  • Por que o termo \epsilon_0\partial\vec{E}/\partial t é crucial: originalmente Ampère tinha apenas \nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{j}. Maxwell percebeu que essa forma gera contradição com a conservação de carga se houver situações, por exemplo, de um capacitor sendo carregado: o fio que leva corrente para as placas tem \vec{j}\neq 0 atravessando uma superfície aberta, mas através de uma superfície que passe entre as placas não há corrente de cargas (você teria I_{\text{enc}}=0). Para tornar a equação consistente independente da superfície escolhida Maxwell introduziu o termo de corrente de deslocamento.
  • Demonstração curta da necessidade (continuidade de carga): tomando divergência dos dois lados,
\nabla\cdot(\nabla\times\vec{B})=0 \quad\Rightarrow\quad 0=\mu_0\!\left(\nabla\cdot\vec{j}+\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\vec{E})\right).
Usando \nabla\cdot\vec{E}=\rho/\epsilon_0 obtemos
0=\mu_0\!\left(\nabla\cdot\vec{j}+\frac{\partial \rho}{\partial t}\right),
que é exatamente a equação da conservação da carga (continuidade):
\nabla\cdot\vec{j}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0.
Sem o termo \epsilon_0\partial\vec{E}/\partial t essa conservação não se seguiria das equações de campo.
  • Interpretação física do termo de deslocamento: uma variação temporal do campo elétrico é efetivamente como uma “corrente” que gera campo magnético, mesmo se não houver movimento de cargas locais. É essencial para casos como o campo entre as placas de um capacitor carregando.

Passo 7

Derivação (didática) breve da existência de ondas eletromagnéticas a partir das equações de Maxwell
  • Objetivo: mostrar como campos elétricos e magnéticos acoplados e variáveis no tempo se propagam como ondas eletromagnéticas no vácuo e obter a velocidade.
  • Considere vácuo sem fontes: \rho=0 e \vec{j}=0. As equações relevantes tornam-se
\nabla\cdot\vec{E}=0,\qquad \nabla\cdot\vec{B}=0,
\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t},\qquad \nabla\times\vec{B}=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.
  • Pegue o rotacional da equação \nabla\times\vec{E}=-\partial\vec{B}/\partial t:
\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\vec{B}).
  • Use a identidade vetorial \nabla\times(\nabla\times\vec{E})=\nabla(\nabla\cdot\vec{E})-\nabla^2\vec{E}. Em vácuo \nabla\cdot\vec{E}=0, então:
-\nabla^2\vec{E}=-\frac{\partial}{\partial t}\left(\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\right).
  • Simplificando:
\nabla^2\vec{E}=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}.
Isto é a equação de onda para \vec{E} com velocidade
c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}.
  • Mesmo raciocínio vale para \vec{B}. Portanto, campos elétricos e magnéticos acoplados se propagam no vácuo como ondas transversais que viajam à velocidade c. Maxwell interpretou numericamente esse c como a velocidade da luz conhecida experimentalmente, concluindo que luz é uma onda eletromagnética.

Passo 8

Resumo das principais contribuições de Maxwell para a teoria (explicadas e motivadas)
  • Unificação: Maxwell unificou eletricidade e magnetismo numa teoria consistente de campos, mostrando que fenômenos separados (como eletricidade estática, correntes, e indução) são manifestações de um mesmo conjunto de leis de campo.
  • Corrente de deslocamento: ele introduziu o termo \epsilon_0\partial\vec{E}/\partial t (corrente de deslocamento), que foi crucial para consistência matemática (conservação de carga) e física (permitiu tratar campos em regiões sem corrente de partículas).
  • Previsão de ondas eletromagnéticas: a partir de suas equações deduziu que perturbações do campo se propagam como ondas à velocidade 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}; Maxwell identificou isso com a luz, mostrando que a luz é uma onda eletromagnética.
  • Conceito de campo: reforçou a ideia de que energia e momento podem ser armazenados e transportados pelo campo eletromagnético (a noção de energia do campo e da densidade de energia eletromagnética, que foi formalizada depois, e a ideia associada ao vetor de Poynting).
  • Formalismo matemático: colocou a teoria em forma de equações diferenciais locais (na forma que usamos hoje, embora a forma final vetorial tenha sido refinada por outros como Heaviside); seu trabalho abriu caminho para a eletrodinâmica clássica, eletromagnetismo relativístico e tecnologia moderna (rádio, micro-ondas, óptica, etc.).
  • Conclusão prática: graças a Maxwell nós entendemos que mudanças nas cargas e correntes criam campos que se propagam e transportam energia — isso é a base de quase toda a tecnologia de ondas eletromagnéticas.

Passo 9

Dicas práticas de memorização e interpretação para prova (curtas e amigas)
  • Memorização rápida: pense em pares: divergência de E = cargas (fontes); divergência de B=0 (sem monopolos); rotacional de E = -variação temporal de B (indução); rotacional de B = correntes + variação temporal de E (Ampère corrigido).
  • Lembre do papel da corrente de deslocamento com o exemplo do capacitor carregando — esse é o exemplo padrão que os professores gostam de ver.
  • Para a dedução da velocidade da luz, siga os passos da derivação da equação de onda (curl of curl → identidade vetorial → substituir → obter \nabla^2\vec{E}=\mu_0\epsilon_0\partial^2\vec{E}/\partial t^2) — decorre bem em prova se você praticar uma vez.
  • Respire, faça desenhos das linhas de campo e pense “fluxo” para divergência e “circulação” para rotacional — ajuda muito na intuição.

Resposta

\nabla\cdot\vec{E}=\rho/\epsilon_0: A divergência do campo elétrico em um ponto é proporcional à densidade de carga ali; cargas elétricas são fontes (ou sumidouros) de \vec{E}.\n
\nabla\cdot\vec{B}=0: O campo magnético não tem fontes locais; não existem monopolos magnéticos e as linhas de \vec{B} são fechadas; o fluxo magnético por qualquer superfície fechada é zero.\n
\nabla\times\vec{B}=\mu_0\!\left(\vec{j}+\epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\right): O rotacional de \vec{B} é gerado por correntes reais \vec{j} e pela corrente de deslocamento \epsilon_0\partial\vec{E}/\partial t; o termo de deslocamento torna a equação consistente com a conservação da carga (ex.: capacitor carregando).\n
\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}: Campos magnéticos variáveis no tempo induzem campos elétricos circulantes; é a lei da indução de Faraday (em integral: \oint\vec{E}\cdot d\vec{\ell}=-d\Phi_B/dt), incluindo a Lei de Lenz.\n
Principais contribuições de Maxwell: unificou eletricidade e magnetismo em uma teoria de campo consistente; introduziu a corrente de deslocamento (garantindo conservação de carga); previu a existência de ondas eletromagnéticas e identificou a luz como uma dessas ondas com velocidade c=1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}; e consolidou o conceito de campo como portador de energia e momento.

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