(2,0 pontos) Considere uma região do espaço onde o campo elétrico \vec{E} é descrito em coordenadas cartesianas pelo vetor:
\vec{E}(x, y, z)=k[(x) \hat{x}+(2) \hat{y}+(3) \hat{z}]
onde k é uma constante com unidades apropriadas para que \vec{E} seja dado em Volts por metro ( \mathrm{V} / \mathrm{m} ).
Pede-se:
a) Utilizando a Lei de Gauss na forma diferencial \left(\nabla \cdot \vec{E}=\rho / \varepsilon_{0}\right), calcule a densidade volumétrica de carga, \rho(x, y, z), nesta região do espaço.
b) Com base no resultado para \rho obtido no item (a), descreva como as cargas elétricas estão distribuíclas nesta região. A distribuição depende da posição ( x, y, z )? Discuta o que este resultado significa do ponto de vista físico e se ele representa uma situação fisicamente realista em grande escala.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que se pede):
  • O campo elétrico é dado por \vec{E}(x,y,z)=k\bigl[(x)\,\hat{x}+(2)\,\hat{y}+(3)\,\hat{z}\bigr], onde k é uma constante (unidades tais que \vec{E} está em \mathrm{V}/\mathrm{m}).
  • Pede-se:
    a) Usar a Lei de Gauss na forma diferencial \left(\nabla\cdot\vec{E}=\rho/\varepsilon_{0}\right) para calcular a densidade volumétrica de carga \rho(x,y,z) nesta região.
    b) A partir do resultado de (a), descrever como as cargas estão distribuídas: a distribuição depende de x,y,z? o que isso significa fisicamente e se é fisicamente realista em grande escala.

Passo 2

Relembrando a fórmula que vamos usar (sem resolver ainda):
  • A Lei de Gauss, na forma diferencial, diz que
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.
  • Em coordenadas cartesianas, o operador divergente aplicado a um campo \vec{E}=(E_x,E_y,E_z) é dado por
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}.
Explicação rápida e intuitiva: a divergência em um ponto mede a “taxa líquida” de fluxo do campo que sai de um volume infinitesimal ao redor desse ponto; na lei de Gauss isso se relaciona diretamente com a densidade de carga no ponto. As unidades combinam de modo que \rho tem unidades de carga por volume (C/m ^3).

Passo 3

Identificar as componentes do campo dadas no enunciado:
  • Da expressão \vec{E}(x,y,z)=k\bigl[(x)\,\hat{x}+(2)\,\hat{y}+(3)\,\hat{z}\bigr] segue que
E_x(x,y,z)=kx,\qquad E_y(x,y,z)=2k,\qquad E_z(x,y,z)=3k.
Agora calculamos cada derivada parcial que aparece na divergência:
\frac{\partial E_x}{\partial x}=\frac{\partial (kx)}{\partial x}=k,
\frac{\partial E_y}{\partial y}=\frac{\partial (2k)}{\partial y}=0,
\frac{\partial E_z}{\partial z}=\frac{\partial (3k)}{\partial z}=0.

Passo 4

Somando as derivadas para obter a divergência e aplicando a Lei de Gauss:
\nabla\cdot\vec{E} = k+0+0 = k.
Usando \nabla\cdot\vec{E}=\rho/\varepsilon_{0} temos
\frac{\rho}{\varepsilon_{0}} = k \quad\Rightarrow\quad \rho=\varepsilon_{0}\,k.
Isto é, a densidade de carga é uma constante (não depende de x, y ou z) igual a \varepsilon_{0}k.

Passo 5

Interpretação física detalhada (como responder isto numa prova):
  • Como \rho=\varepsilon_{0}k é constante, as cargas elétricas estão distribuídas uniformemente no volume: cada pequeno volume tem a mesma quantidade de carga. Em linguagem curta: trata-se de uma densidade volumétrica uniforme.
  • Consequência prática: qualquer volume finito contém carga proporcional ao seu volume; para um meio que se estenda ao infinito essa hipótese implica carga total infinita, o que é fisicamente problemático em grande escala.
  • Observações sobre realismo:
    • Matematicamente a solução é perfeitamente aceitável localmente e satisfaz as equações de Maxwell (a divergência é constante). O campo também é irrotacional aqui ( \nabla\times\vec{E}=0), então existe um potencial elétrico associado.
    • Fisicamente, ter uma distribuição uniforme ocupando todo o espaço leva a problemas de condição de contorno no infinito (o campo cresce sem limites em x porque E_x=kx cresce linearmente quando |x| aumenta, e o potencial cresce como x^2). Portanto não é uma situação realista se estendida para todo o espaço infinito; porém pode ser uma boa aproximação localmente, ou pode representar com razoabilidade uma região grande mas limitada contendo carga distribuída quase uniformemente.
    • Em experimentos ou aplicações reais devemos considerar superfícies de contorno ou neutralização em escalas maiores; em regiões finitas um arranjo de cargas pode aproximar essa uniformidade.

Resposta

a) \rho(x,y,z)=\varepsilon_{0}\,k
b) A distribuição é uniforme (densidade volumétrica constante igual a \varepsilon_{0}k), ou seja, não depende de x,y,z. Fisicamente isso significa uma carga espalhada homogeneamente pelo volume; estendida ao infinito resulta em carga total infinita e campos/potencial não limitados, portanto é aceitável localmente ou como aproximação em uma região finita, mas não realista globalmente sem condições de contorno adicionais.

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