(2,0 pontos) Considere uma região do espaço onde o campo elétrico
é descrito em coordenadas cartesianas pelo vetor:
onde
é uma constante com unidades apropriadas para que
seja dado em Volts por metro (
).
Pede-se:
a) Utilizando a Lei de Gauss na forma diferencial
, calcule a densidade volumétrica de carga,
, nesta região do espaço.
b) Com base no resultado para
obtido no item (a), descreva como as cargas elétricas estão distribuíclas nesta região. A distribuição depende da posição (
)? Discuta o que este resultado significa do ponto de vista físico e se ele representa uma situação fisicamente realista em grande escala.
a) Utilizando a Lei de Gauss na forma diferencial
b) Com base no resultado para
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que se pede):
- O campo elétrico é dado por
, onde é uma constante (unidades tais que está em ). - Pede-se:
a) Usar a Lei de Gauss na forma diferencialpara calcular a densidade volumétrica de carga nesta região.
b) A partir do resultado de (a), descrever como as cargas estão distribuídas: a distribuição depende de? o que isso significa fisicamente e se é fisicamente realista em grande escala.
Passo 2
Relembrando a fórmula que vamos usar (sem resolver ainda):
- A Lei de Gauss, na forma diferencial, diz que
- Em coordenadas cartesianas, o operador divergente aplicado a um campo
é dado por
Explicação rápida e intuitiva: a divergência em um ponto mede a “taxa líquida” de fluxo do campo que sai de um volume infinitesimal ao redor desse ponto; na lei de Gauss isso se relaciona diretamente com a densidade de carga no ponto. As unidades combinam de modo que
tem unidades de carga por volume (C/m
).
Passo 3
Identificar as componentes do campo dadas no enunciado:
- Da expressão
segue que
Agora calculamos cada derivada parcial que aparece na divergência:
Passo 4
Somando as derivadas para obter a divergência e aplicando a Lei de Gauss:
Usando
temos
Isto é, a densidade de carga é uma constante (não depende de
,
ou
) igual a
.
Passo 5
Interpretação física detalhada (como responder isto numa prova):
- Como
é constante, as cargas elétricas estão distribuídas uniformemente no volume: cada pequeno volume tem a mesma quantidade de carga. Em linguagem curta: trata-se de uma densidade volumétrica uniforme. - Consequência prática: qualquer volume finito contém carga proporcional ao seu volume; para um meio que se estenda ao infinito essa hipótese implica carga total infinita, o que é fisicamente problemático em grande escala.
- Observações sobre realismo:
- Matematicamente a solução é perfeitamente aceitável localmente e satisfaz as equações de Maxwell (a divergência é constante). O campo também é irrotacional aqui (
), então existe um potencial elétrico associado. - Fisicamente, ter uma distribuição uniforme ocupando todo o espaço leva a problemas de condição de contorno no infinito (o campo cresce sem limites em
porque cresce linearmente quando aumenta, e o potencial cresce como ). Portanto não é uma situação realista se estendida para todo o espaço infinito; porém pode ser uma boa aproximação localmente, ou pode representar com razoabilidade uma região grande mas limitada contendo carga distribuída quase uniformemente. - Em experimentos ou aplicações reais devemos considerar superfícies de contorno ou neutralização em escalas maiores; em regiões finitas um arranjo de cargas pode aproximar essa uniformidade.
- Matematicamente a solução é perfeitamente aceitável localmente e satisfaz as equações de Maxwell (a divergência é constante). O campo também é irrotacional aqui (
Resposta
a)
b) A distribuição é uniforme (densidade volumétrica constante igual a
), ou seja, não depende de
. Fisicamente isso significa uma carga espalhada homogeneamente pelo volume; estendida ao infinito resulta em carga total infinita e campos/potencial não limitados, portanto é aceitável localmente ou como aproximação em uma região finita, mas não realista globalmente sem condições de contorno adicionais.