Observação . De agora em diante, salvo menção em contrário,
curva parametrizada pelo comprimento de arco com curvatura
para todo
.
Mostre que a curvatura
de uma curva regular
é a curvatura em
da curva
, onde
é a projeção normal de
no plano osculador.
Mostre que a curvatura
Passo 1
O enunciado dá uma curva
parametrizada pelo comprimento de arco (portanto
para todo
) e com curvatura
para todo
. Pede-se para mostrar que a curvatura
da curva
no ponto
é igual à curvatura, no mesmo parâmetro
, da curva projetada
, onde
é a projeção normal de
no plano osculador em
.
Informações relevantes fornecidas:
-
é parametrizada por comprimento de arco: . - A curvatura de
em é . - Plano osculador em
é o plano gerado por e (o normal principal). - A projeção
é a projeção ortogonal (normal) sobre o plano osculador em — i.e., projeção ao longo da direção do binormal .
Passo 2
Vou definir rigidamente a projeção usada (isso evita ambiguidades). Fixe um parâmetro
onde queremos comparar as curvaturas. Denote por
as vetores de Frenet em
. O plano osculador em
é o plano que passa por
e tem vetor normal
. Defina a projeção ortogonal sobre esse plano por
para todo
. Essa
projeta pontos ao longo da direção
no plano osculador em
. Seja a curva projetada
O objetivo é mostrar que a curvatura de
em
é igual a
.
Passo 3
Calcule a derivada primeira de
. Como
e
são constantes quando diferenciamos em relação a
, temos
Agora avalie em
. Pelo fato de
, tem-se
. Como
, segue
Portanto as tangentes de
e de
coincidem no ponto
; em particular
.
Passo 4
Calcule a derivada segunda de
. Diferenciando a expressão de
obtemos
Agora avalie em
. Note que
pertence ao plano osculador em
(pois é múltiplo de
), e este plano é ortogonal a
. Logo
. Portanto
Passo 5
Relembre as fórmulas de curvatura:
- Se uma curva
é parametrizada por comprimento de arco , a curvatura é . - Para parametrização qualquer, a curvatura é
.
No nosso caso, em
já vimos que
tem norma
. Assim podemos usar a fórmula para parametrização por comprimento de arco localmente ou a fórmula geral; em qualquer caso, a curvatura de
em
é
Pelo Passo 4 temos
. Logo
Passo 6
Interpretação final e observações didáticas rápidas: a projeção ortogonal sobre o plano osculador em um ponto não altera nem a direção tangente nem a componente de curvatura normal naquele ponto, porque a projeção elimina apenas a componente na direção do binormal
e tanto
quanto
já estão contidos no plano osculador (portanto perpendiculares a
). Assim a curvatura (que depende exatamente de
quando há parametrização por comprimento de arco) permanece inalterada.
Resposta
A curvatura da curva projetada
em
é igual a
; ou seja,
.