Observação . De agora em diante, salvo menção em contrário, \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} curva parametrizada pelo comprimento de arco com curvatura k(t) \neq 0 para todo t \in I.
Mostre que a curvatura k(t) \neq 0 de uma curva regular \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} é a curvatura em t da curva \pi(\alpha(t)), onde \pi é a projeção normal de \alpha no plano osculador.

Passo 1

O enunciado dá uma curva \alpha: I\to\mathbb{R}^3 parametrizada pelo comprimento de arco (portanto \|\alpha'(t)\|=1 para todo t) e com curvatura k(t)\neq 0 para todo t\in I. Pede-se para mostrar que a curvatura k(t) da curva \alpha no ponto t é igual à curvatura, no mesmo parâmetro t, da curva projetada \pi(\alpha(t)), onde \pi é a projeção normal de \alpha no plano osculador em t.
Informações relevantes fornecidas:
  • \alpha é parametrizada por comprimento de arco: \|\alpha'(t)\|=1.
  • A curvatura de \alpha em t é k(t)\neq 0.
  • Plano osculador em t é o plano gerado por T(t)=\alpha'(t) e N(t) (o normal principal).
  • A projeção \pi é a projeção ortogonal (normal) sobre o plano osculador em t — i.e., projeção ao longo da direção do binormal B(t).

Passo 2

Vou definir rigidamente a projeção usada (isso evita ambiguidades). Fixe um parâmetro t_0\in I onde queremos comparar as curvaturas. Denote por
T(t)=\alpha'(t),\qquad \alpha''(t)=k(t)N(t),\qquad B(t)=T(t)\times N(t)
as vetores de Frenet em t. O plano osculador em t_0 é o plano que passa por \alpha(t_0) e tem vetor normal B(t_0). Defina a projeção ortogonal sobre esse plano por
\pi_{t_0}(x)=x-\langle x-\alpha(t_0),\,B(t_0)\rangle B(t_0),
para todo x\in\mathbb{R}^3. Essa \pi_{t_0} projeta pontos ao longo da direção B(t_0) no plano osculador em t_0. Seja a curva projetada
\beta(u)=\pi_{t_0}(\alpha(u)).
O objetivo é mostrar que a curvatura de \beta em u=t_0 é igual a k(t_0).

Passo 3

Calcule a derivada primeira de \beta(u). Como B(t_0) e \alpha(t_0) são constantes quando diferenciamos em relação a u, temos
\beta'(u)=\alpha'(u)-\langle \alpha'(u),\,B(t_0)\rangle B(t_0).
Agora avalie em u=t_0. Pelo fato de B(t_0)=T(t_0)\times N(t_0), tem-se \langle T(t_0),B(t_0)\rangle=0. Como \alpha'(t_0)=T(t_0), segue
\beta'(t_0)=\alpha'(t_0)-\langle \alpha'(t_0),B(t_0)\rangle B(t_0)=T(t_0)-0\cdot B(t_0)=T(t_0).
Portanto as tangentes de \alpha e de \beta coincidem no ponto t_0; em particular \|\beta'(t_0)\|=1.

Passo 4

Calcule a derivada segunda de \beta(u). Diferenciando a expressão de \beta'(u) obtemos
\beta''(u)=\alpha''(u)-\langle \alpha''(u),\,B(t_0)\rangle B(t_0).
Agora avalie em u=t_0. Note que \alpha''(t_0)=k(t_0)N(t_0) pertence ao plano osculador em t_0 (pois é múltiplo de N(t_0)), e este plano é ortogonal a B(t_0). Logo \langle \alpha''(t_0),B(t_0)\rangle=0. Portanto
\beta''(t_0)=\alpha''(t_0)-0\cdot B(t_0)=\alpha''(t_0)=k(t_0)N(t_0).

Passo 5

Relembre as fórmulas de curvatura:
  • Se uma curva \gamma é parametrizada por comprimento de arco s, a curvatura é \kappa(s)=\|\gamma''(s)\|.
  • Para parametrização qualquer, a curvatura é \kappa=\dfrac{\|\gamma'\times\gamma''\|}{\|\gamma'\|^{3}}.
No nosso caso, em u=t_0 já vimos que \beta'(t_0)=T(t_0) tem norma 1. Assim podemos usar a fórmula para parametrização por comprimento de arco localmente ou a fórmula geral; em qualquer caso, a curvatura de \beta em t_0 é
\kappa_\beta(t_0)=\|\beta''(t_0)\|.
Pelo Passo 4 temos \beta''(t_0)=\alpha''(t_0). Logo
\kappa_\beta(t_0)=\|\beta''(t_0)\|=\|\alpha''(t_0)\|=k(t_0).

Passo 6

Interpretação final e observações didáticas rápidas: a projeção ortogonal sobre o plano osculador em um ponto não altera nem a direção tangente nem a componente de curvatura normal naquele ponto, porque a projeção elimina apenas a componente na direção do binormal B(t_0) e tanto \alpha'(t_0) quanto \alpha''(t_0) já estão contidos no plano osculador (portanto perpendiculares a B(t_0)). Assim a curvatura (que depende exatamente de \alpha'' quando há parametrização por comprimento de arco) permanece inalterada.

Resposta

A curvatura da curva projetada \pi(\alpha(t)) em t é igual a k(t); ou seja, \kappa_{\pi(\alpha)}(t)=k(t).

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