Observação . De agora em diante, salvo menção em contrário,
curva parametrizada pelo comprimento de arco com curvatura
para todo
.
uma curva regular. Obtenha
como combinação linear do triedro de Frenet de
em
.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- Dada a curva
parametrizada por comprimento de arco . Logo para todo . - A curvatura é
em todo . - A curva é regular (derivadas suficientes existem).
O que é pedido: - Escrever
como combinação linear do triedro de Frenet em , ou seja expressá-la na base ortonormal , onde são o vetor tangente, normal principal e binormal, respectivamente.
Passo 2
Definições e fatos básicos (passo-a-passo bem mastigado).
- Definição do vetor tangente unitário:
. Como a parametrização é por comprimento de arco, tem-se . - Diferenciando
obtemos , logo . Isso mostra que é ortogonal a . - Definição da curvatura:
. Como , podemos definir o vetor normal unitário:
Assim
. Este é já um dos resultados que vamos usar (é simples e muito importante).
Passo 3
Construção do binormal e introdução da torsão.
- Definição do binormal:
. Pelas propriedades do produto vetorial entre vetores ortonormais, é uma base ortonormal (direita). - Porque
, temos , ou seja é ortogonal a . Assim só pode ter componentes nas direções e . Então escrevemos
- Encontrar
: faça produto escalar com :
Mas
(diferencie
), e como
temos
. Portanto
, logo
- Definir a torsão
por
Com isso obtemos a segunda fórmula de Frenet:
Passo 4
Derivar a terceira fórmula de Frenet e preparar
.
- Diferenciando
e usando as fórmulas anteriores resulta (pode-se verificar diretamente) que
(Isto garante que
é exatamente o coeficiente que aparece na derivada de
.)
- Agora calcule as derivadas de
que precisamos. Como ,
- Diferencie
para obter :
Aqui
é a derivada de
em relação a
.
Passo 5
Substituir
e escrever o resultado final (passo-chave, sem pulo de etapas).
- Substituindo a expressão de
obtida no Passo 3 em temos:
- Agrupando termos por
:
Pronto — essa é a combinação linear pedida, com coeficientes explícitos em termos de
,
e
.
Passo 6
Observações úteis para a prova e formas alternativas (bem rápidas).
- Interpretação: o termo em
vem da curvatura ao quadrado, o termo em envolve a taxa de variação da curvatura e o termo em mistura curvatura e torsão . - Fórmula prática para a torsão (quando necessário calcular
a partir das derivadas de ):
válida para parametrização por comprimento de arco (útil se a questão der
explicitamente).