Observação . De agora em diante, salvo menção em contrário, \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} curva parametrizada pelo comprimento de arco com curvatura k(t) \neq 0 para todo t \in I.
\alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva regular. Obtenha \alpha^{\prime \prime \prime}(s) como combinação linear do triedro de Frenet de \alpha em s.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dada a curva \alpha:I\to\mathbb{R}^3 parametrizada por comprimento de arco s. Logo \|\alpha'(s)\|=1 para todo s.
  • A curvatura é k(s)\neq0 em todo s\in I.
  • A curva é regular (derivadas suficientes existem).
    O que é pedido:
  • Escrever \alpha^{\prime\prime\prime}(s) como combinação linear do triedro de Frenet em s, ou seja expressá-la na base ortonormal \{T(s),N(s),B(s)\}, onde T,N,B são o vetor tangente, normal principal e binormal, respectivamente.

Passo 2

Definições e fatos básicos (passo-a-passo bem mastigado).
  • Definição do vetor tangente unitário: T(s)=\alpha'(s). Como a parametrização é por comprimento de arco, tem-se \|T(s)\|=1.
  • Diferenciando \|T(s)\|^2=1 obtemos 2\langle T,T'\rangle=0, logo \langle T,T'\rangle=0. Isso mostra que T'(s) é ortogonal a T(s).
  • Definição da curvatura: k(s)=\|T'(s)\|=\|\alpha''(s)\|. Como k(s)\neq0, podemos definir o vetor normal unitário:
N(s)=\frac{T'(s)}{k(s)}.
Assim T'(s)=k(s)N(s). Este é já um dos resultados que vamos usar (é simples e muito importante).

Passo 3

Construção do binormal e introdução da torsão.
  • Definição do binormal: B(s)=T(s)\times N(s). Pelas propriedades do produto vetorial entre vetores ortonormais, \{T,N,B\} é uma base ortonormal (direita).
  • Porque \|N(s)\|=1, temos \langle N,N'\rangle=0, ou seja N'(s) é ortogonal a N(s). Assim N'(s) só pode ter componentes nas direções T(s) e B(s). Então escrevemos
N'(s)=a(s)T(s)+c(s)B(s).
  • Encontrar a(s): faça produto escalar com T(s):
\langle N',T\rangle = a(s)\langle T,T\rangle + c(s)\langle B,T\rangle = a(s).
Mas \langle N',T\rangle = -\langle N,T'\rangle (diferencie \langle N,T\rangle=0), e como T'=kN temos \langle N,T'\rangle = \langle N,kN\rangle = k. Portanto \langle N',T\rangle = -k, logo
a(s)=-k(s).
  • Definir a torsão \tau(s) por
\tau(s)=c(s)=\langle N'(s),B(s)\rangle.
Com isso obtemos a segunda fórmula de Frenet:
N'(s)=-k(s)T(s)+\tau(s)B(s).

Passo 4

Derivar a terceira fórmula de Frenet e preparar \alpha^{\prime\prime\prime}(s).
  • Diferenciando B(s)=T(s)\times N(s) e usando as fórmulas anteriores resulta (pode-se verificar diretamente) que
B'(s)=-\tau(s)N(s).
(Isto garante que \tau(s) é exatamente o coeficiente que aparece na derivada de B.)
  • Agora calcule as derivadas de \alpha que precisamos. Como T=\alpha',
\alpha''(s)=T'(s)=k(s)N(s).
  • Diferencie \alpha''(s) para obter \alpha^{\prime\prime\prime}(s):
\alpha^{\prime\prime\prime}(s)=(k(s)N(s))' = k'(s)N(s)+k(s)N'(s).
Aqui k'(s) é a derivada de k em relação a s.

Passo 5

Substituir N'(s) e escrever o resultado final (passo-chave, sem pulo de etapas).
  • Substituindo a expressão de N'(s) obtida no Passo 3 em \alpha^{\prime\prime\prime}(s) temos:
\alpha^{\prime\prime\prime}(s)=k'(s)N(s)+k(s)\bigl(-k(s)T(s)+\tau(s)B(s)\bigr).
  • Agrupando termos por T,N,B:
\alpha^{\prime\prime\prime}(s)=-k(s)^2\,T(s)+k'(s)\,N(s)+k(s)\tau(s)\,B(s).
Pronto — essa é a combinação linear pedida, com coeficientes explícitos em termos de k(s), k'(s) e \tau(s).

Passo 6

Observações úteis para a prova e formas alternativas (bem rápidas).
  • Interpretação: o termo em T vem da curvatura ao quadrado, o termo em N envolve a taxa de variação da curvatura k' e o termo em B mistura curvatura e torsão k\tau.
  • Fórmula prática para a torsão (quando necessário calcular \tau a partir das derivadas de \alpha):
\tau(s)=\frac{\bigl(\alpha'(s)\times\alpha''(s)\bigr)\cdot\alpha'''(s)}{k(s)^2},
válida para parametrização por comprimento de arco (útil se a questão der \alpha explicitamente).

Resposta

\displaystyle \alpha^{\prime\prime\prime}(s)=-k(s)^{2}T(s)+k'(s)N(s)+k(s)\tau(s)B(s)

Exercícios relacionados