Observação . De agora em diante, salvo menção em contrário, \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} curva parametrizada pelo comprimento de arco com curvatura k(t) \neq 0 para todo t \in I.
Dada a curva parametrizada (hélice)
\alpha(s)=\left(a \cos \frac{s}{c}, a \sin \frac{s}{c}, b \frac{s}{c}\right), \quad s \in \mathbb{R}
onde c^{2}=a^{2}+b^{2},
(a) Mostre que \alpha está parametrizada pelo comprimento de arco.
(b) Determine a curvatura e torção de \alpha
(c) Mostre que as retas normais a \alpha(s) são perpendiculares ao eixo O z.
(d) Mostre que as retas tangentes a \alpha(s) fazem um ângulo constante com o eixo O z.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva (hélice)
\alpha(s)=\left(a\cos\frac{s}{c},\;a\sin\frac{s}{c},\;b\frac{s}{c}\right),\qquad s\in\mathbb{R},
com a condição \,c^{2}=a^{2}+b^{2}\,. As perguntas são:
(a) mostrar que \alpha está parametrizada pelo comprimento de arco;
(b) determinar a curvatura e a torção de \alpha;
(c) mostrar que as retas normais a \alpha(s) são perpendiculares ao eixo O z;
(d) mostrar que as retas tangentes a \alpha(s) fazem um ângulo constante com o eixo O z.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função \alpha está já escrita com parâmetro s.
  • A relação entre constantes: c^{2}=a^{2}+b^{2}.
  • Não há outros dados numéricos; a,b,c são constantes reais com c>0 presumivelmente.

Passo 2

Definição e ideia usada (mini-aula): dizer que uma curva \alpha(s) está parametrizada pelo comprimento de arco significa que a velocidade tem norma unitária para todo s, ou seja \|\alpha'(s)\|=1 para todo s. Isso porque, por definição, o parâmetro arco s mede o comprimento da curva desde um ponto fixo, e a taxa de variação do comprimento em relação a s é justamente a velocidade \|\alpha'(s)\|. Portanto, para (a) basta calcular \alpha'(s) e verificar que sua norma é 1.
Cálculo de \alpha'(s) (derivada componente a componente). Como u=\dfrac{s}{c}, a derivada de \cos u em relação a s é -\sin u\cdot\dfrac{1}{c}, e similar para \sin u. Assim,
\alpha'(s)=\left(-\frac{a}{c}\sin\frac{s}{c},\;\frac{a}{c}\cos\frac{s}{c},\;\frac{b}{c}\right).
Agora calcule a norma ao quadrado e simplifique:
\|\alpha'(s)\|^{2}=\left(-\frac{a}{c}\sin\frac{s}{c}\right)^{2}+\left(\frac{a}{c}\cos\frac{s}{c}\right)^{2}+\left(\frac{b}{c}\right)^{2} =\frac{a^{2}}{c^{2}}\big(\sin^{2}\tfrac{s}{c}+\cos^{2}\tfrac{s}{c}\big)+\frac{b^{2}}{c^{2}}.
Usando \sin^{2}+\cos^{2}=1 e c^{2}=a^{2}+b^{2},
\|\alpha'(s)\|^{2}=\frac{a^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}=\frac{c^{2}}{c^{2}}=1.
Como \|\alpha'(s)\|^{2}=1 para todo s, segue \|\alpha'(s)\|=1. Conclusão imediata: \alpha está parametrizada pelo comprimento de arco. (Resposta de (a) obtida.)

Passo 3

Definição/mini-aula sobre curvatura: para uma curva parametrizada por comprimento de arco (ou seja \| \alpha'\|=1), a curvatura \kappa(s) mede a rapidez com que a direção tangente muda e é dada por
\kappa(s)=\|\alpha''(s)\|.
Explicando: \alpha'(s)=T(s) é o vetor tangente unitário; sua derivada T'(s) é ortogonal a T(s) e a magnitude \|T'(s)\| diz quanto a direção gira por unidade de comprimento.
Calcule \alpha''(s) derivando \alpha'(s):
\alpha''(s)=\left(-\frac{a}{c^{2}}\cos\frac{s}{c},\;-\frac{a}{c^{2}}\sin\frac{s}{c},\;0\right).
Agora a norma:
\|\alpha''(s)\|^{2}=\left(-\frac{a}{c^{2}}\cos\frac{s}{c}\right)^{2}+\left(-\frac{a}{c^{2}}\sin\frac{s}{c}\right)^{2}+0 =\frac{a^{2}}{c^{4}}\big(\cos^{2}\tfrac{s}{c}+\sin^{2}\tfrac{s}{c}\big)=\frac{a^{2}}{c^{4}}.
Logo
\kappa(s)=\|\alpha''(s)\|=\frac{a}{c^{2}}.
Observação didática: a curvatura saiu constante (não depende de s), o que é típico de hélices regulares — elas têm curvatura e torção constantes.

Passo 4

Mini-aula sobre torção: para curva parametrizada por arco, a torção \tau(s) mede a forma como a curva sai do plano osculador (quanto “torce” no espaço). Uma fórmula prática é
\tau(s)=\frac{\det\big(\alpha'(s),\alpha''(s),\alpha'''(s)\big)}{\|\alpha''(s)\|^{2}}.
Aqui \det(\alpha',\alpha'',\alpha''') é o determinante das três colunas (ou linhas) formadas pelos vetores coordenados.
Primeiro calcule \alpha'''(s) derivando \alpha''(s):
\alpha'''(s)=\left(\frac{a}{c^{3}}\sin\frac{s}{c},\;-\frac{a}{c^{3}}\cos\frac{s}{c},\;0\right).
Agora escrevemos os vetores para facilitar:
\alpha'(s)=\left(-\frac{a}{c}\sin u,\;\frac{a}{c}\cos u,\;\frac{b}{c}\right),\quad \alpha''(s)=\left(-\frac{a}{c^{2}}\cos u,\;-\frac{a}{c^{2}}\sin u,\;0\right),
\alpha'''(s)=\left(\frac{a}{c^{3}}\sin u,\;-\frac{a}{c^{3}}\cos u,\;0\right),
onde usei u=\dfrac{s}{c} para simplificar a escrita.
Calcule o determinante. Note que as terceiras componentes de \alpha'' e \alpha''' são zero, o que simplifica muito o cálculo: usando a fórmula do determinante por co-fatores,
\det(\alpha',\alpha'',\alpha''')=\alpha'_z\big(\alpha''_x\alpha'''_y-\alpha''_y\alpha'''_x\big),
porque os termos envolvendo \alpha''_z ou \alpha'''_z anulariam. Aqui \alpha'_z=\dfrac{b}{c}. Calcule o parêntese:
\alpha''_x\alpha'''_y-\alpha''_y\alpha'''_x =\left(-\frac{a}{c^{2}}\cos u\right)\left(-\frac{a}{c^{3}}\cos u\right) -\left(-\frac{a}{c^{2}}\sin u\right)\left(\frac{a}{c^{3}}\sin u\right).
Simplificando:
=\frac{a^{2}}{c^{5}}\cos^{2}u+\frac{a^{2}}{c^{5}}\sin^{2}u =\frac{a^{2}}{c^{5}}(\cos^{2}u+\sin^{2}u)=\frac{a^{2}}{c^{5}}.
Portanto
\det(\alpha',\alpha'',\alpha''')=\frac{b}{c}\cdot\frac{a^{2}}{c^{5}}=\frac{a^{2}b}{c^{6}}.
Já calculamos \|\alpha''(s)\|^{2}=\dfrac{a^{2}}{c^{4}}. Assim a torção é
\tau(s)=\frac{\dfrac{a^{2}b}{c^{6}}}{\dfrac{a^{2}}{c^{4}}}=\frac{b}{c^{2}}.
Conclusão de (b): \kappa=\dfrac{a}{c^{2}} e \tau=\dfrac{b}{c^{2}}, ambas constantes.

Passo 5

Parte (c): mostrar que as retas normais a \alpha(s) são perpendiculares ao eixo O z.
Mini-aula curta: a reta normal em s é a reta que passa por \alpha(s) com direção dada pelo vetor normal unitário N(s). Para uma curva parametrizada por arco, N(s) pode ser obtido por
N(s)=\frac{\alpha''(s)}{\|\alpha''(s)\|}.
Já temos \alpha''(s)=\left(-\dfrac{a}{c^{2}}\cos\frac{s}{c},\,-\dfrac{a}{c^{2}}\sin\frac{s}{c},\,0\right) e \|\alpha''(s)\|=\dfrac{a}{c^{2}}. Assim
N(s)=\left(-\cos\frac{s}{c},\;-\sin\frac{s}{c},\;0\right).
Note que a componente z de N(s) é 0. O eixo O z tem direção pelo vetor unitário \mathbf{k}=(0,0,1). O produto escalar entre N(s) e \mathbf{k} é zero:
\langle N(s),\mathbf{k}\rangle=0.
Isto significa que o vetor direção da reta normal é ortogonal ao eixo O z, isto é, cada reta normal é perpendicular ao eixo O z. (Resposta de (c) obtida.)
Intuição: os vetores normais apontam radialmente para o centro da hélice projetada no plano xy; são horizontais.

Passo 6

Parte (d): mostrar que as retas tangentes a \alpha(s) fazem um ângulo constante com o eixo O z.
Mini-aula curta: o ângulo \theta(s) entre o vetor tangente unitário T(s)=\alpha'(s) e o eixo O z (vetor unitário \mathbf{k}=(0,0,1)) satisfaz
\cos\theta(s)=\langle T(s),\mathbf{k}\rangle.
Como \alpha'(s) já é unitário, esse produto escalar é justamente a componente z de \alpha'(s). Da expressão de \alpha'(s) temos \alpha'_z(s)=\dfrac{b}{c}, que é constante (não depende de s). Então
\cos\theta(s)=\frac{b}{c},
portanto \theta(s)=\operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{b}{c}\big) é constante. Isso mostra que todas as retas tangentes fazem o mesmo ângulo com o eixo O z.
Intuição: a hélice sobe com passo constante por volta, então a inclinação da tangente em relação ao eixo vertical é fixa.

Resposta

(a) Sim: \|\alpha'(s)\|=1.
(b) \kappa=\dfrac{a}{c^{2}},\qquad \tau=\dfrac{b}{c^{2}}.
(c) Sim: o vetor normal unitário é N(s)=\big(-\cos\frac{s}{c},-\sin\frac{s}{c},0\big), cuja componente z é zero, logo as retas normais são perpendiculares ao eixo O z.
(d) Sim: \cos\theta=\langle T(s),\mathbf{k}\rangle=\dfrac{b}{c}, logo o ângulo \theta=\operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{b}{c}\big) entre as retas tangentes e o eixo O z é constante.

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