Observação . De agora em diante, salvo menção em contrário,
curva parametrizada pelo comprimento de arco com curvatura
para todo
.
Dada a curva parametrizada (hélice)
onde
,
(a) Mostre que
está parametrizada pelo comprimento de arco.
(b) Determine a curvatura e torção de
(c) Mostre que as retas normais a
são perpendiculares ao eixo
.
(d) Mostre que as retas tangentes a
fazem um ângulo constante com o eixo
.
Dada a curva parametrizada (hélice)
(a) Mostre que
(b) Determine a curvatura e torção de
(c) Mostre que as retas normais a
(d) Mostre que as retas tangentes a
Passo 1
O enunciado nos dá a curva (hélice)
com a condição
. As perguntas são:
(a) mostrar que está parametrizada pelo comprimento de arco;
(b) determinar a curvatura e a torção de ;
(c) mostrar que as retas normais a são perpendiculares ao eixo
;
(d) mostrar que as retas tangentes a fazem um ângulo constante com o eixo
.
(a) mostrar que
(b) determinar a curvatura e a torção de
(c) mostrar que as retas normais a
(d) mostrar que as retas tangentes a
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função
está já escrita com parâmetro . - A relação entre constantes:
. - Não há outros dados numéricos;
são constantes reais com presumivelmente.
Passo 2
Definição e ideia usada (mini-aula): dizer que uma curva
está parametrizada pelo comprimento de arco significa que a velocidade tem norma unitária para todo
, ou seja
para todo
. Isso porque, por definição, o parâmetro arco
mede o comprimento da curva desde um ponto fixo, e a taxa de variação do comprimento em relação a
é justamente a velocidade
. Portanto, para (a) basta calcular
e verificar que sua norma é
.
Cálculo de
(derivada componente a componente). Como
, a derivada de
em relação a
é
, e similar para
. Assim,
Agora calcule a norma ao quadrado e simplifique:
Usando
e
,
Como
para todo
, segue
. Conclusão imediata:
está parametrizada pelo comprimento de arco. (Resposta de (a) obtida.)
Passo 3
Definição/mini-aula sobre curvatura: para uma curva parametrizada por comprimento de arco (ou seja
), a curvatura
mede a rapidez com que a direção tangente muda e é dada por
Explicando:
é o vetor tangente unitário; sua derivada
é ortogonal a
e a magnitude
diz quanto a direção gira por unidade de comprimento.
Calcule
derivando
:
Agora a norma:
Logo
Observação didática: a curvatura saiu constante (não depende de
), o que é típico de hélices regulares — elas têm curvatura e torção constantes.
Passo 4
Mini-aula sobre torção: para curva parametrizada por arco, a torção
mede a forma como a curva sai do plano osculador (quanto “torce” no espaço). Uma fórmula prática é
Aqui
é o determinante das três colunas (ou linhas) formadas pelos vetores coordenados.
Primeiro calcule
derivando
:
Agora escrevemos os vetores para facilitar:
onde usei
para simplificar a escrita.
Calcule o determinante. Note que as terceiras componentes de
e
são zero, o que simplifica muito o cálculo: usando a fórmula do determinante por co-fatores,
porque os termos envolvendo
ou
anulariam. Aqui
. Calcule o parêntese:
Simplificando:
Portanto
Já calculamos
. Assim a torção é
Conclusão de (b):
e
, ambas constantes.
Passo 5
Parte (c): mostrar que as retas normais a
são perpendiculares ao eixo
.
Mini-aula curta: a reta normal em
é a reta que passa por
com direção dada pelo vetor normal unitário
. Para uma curva parametrizada por arco,
pode ser obtido por
Já temos
e
. Assim
Note que a componente
de
é
. O eixo
tem direção pelo vetor unitário
. O produto escalar entre
e
é zero:
Isto significa que o vetor direção da reta normal é ortogonal ao eixo
, isto é, cada reta normal é perpendicular ao eixo
. (Resposta de (c) obtida.)
Intuição: os vetores normais apontam radialmente para o centro da hélice projetada no plano
; são horizontais.
Passo 6
Parte (d): mostrar que as retas tangentes a
fazem um ângulo constante com o eixo
.
Mini-aula curta: o ângulo
entre o vetor tangente unitário
e o eixo
(vetor unitário
) satisfaz
Como
já é unitário, esse produto escalar é justamente a componente
de
. Da expressão de
temos
, que é constante (não depende de
). Então
portanto
é constante. Isso mostra que todas as retas tangentes fazem o mesmo ângulo com o eixo
.
Intuição: a hélice sobe com passo constante por volta, então a inclinação da tangente em relação ao eixo vertical é fixa.
Resposta
(a) Sim:
.
(b)
(c) Sim: o vetor normal unitário é , cuja componente
é zero, logo as retas normais são perpendiculares ao eixo
.
(d) Sim: , logo o ângulo
entre as retas tangentes e o eixo
é constante.
(b)
(c) Sim: o vetor normal unitário é
(d) Sim: