A observação de atos de agressividade numa tribo de chimpanzés-pigmeus leva a crer que eles ocorrem de acordo com um processo de Poisson com taxa 7 atos/hora.
Qual é a probabilidade de numa hora ocorrerem menos do que três atos de agressividade?

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede uma coisa clara:
  • Taxa média de ocorrências: \lambda = 7 atos por hora (peguei isso do enunciado).
  • Intervalo de tempo considerado: uma hora.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de ocorrerem menos do que três atos de agressividade numa hora? Ou seja, queremos \Pr(X<3) onde X é o número de atos em uma hora.

Passo 2

Modelo adequado e definição:
  • Para contar ocorrências raras por unidade de tempo com taxa média conhecida usa-se o processo de Poisson. Então X segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda.
  • A função massa de probabilidade (pmf) da Poisson é:
\Pr(X=k)=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • \lambda é a taxa média de ocorrências no intervalo (aqui \lambda=7);
  • k é o número inteiro de ocorrências ( k=0,1,2,\dots);
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. e\approx2,71828);
  • k! (fatorial) significa k!=k\cdot (k-1)\cdots1 e 0!=1.
Explicando em linguagem simples: cada probabilidade \Pr(X=k) é dada por multiplicar e^{-\lambda} por \lambda^{k} e dividir por k!. O fator e^{-\lambda} garante que as probabilidades somem 1.

Passo 3

Expressar a probabilidade pedida em termos da pmf:
  • “Menos do que três” significa k=0,1,2. Então
\Pr(X<3)=\Pr(X\le 2)=\sum_{k=0}^{2} e^{-7}\,\frac{7^{k}}{k!}.

Passo 4

Escrever cada termo do somatório separadamente e simplificar os fatoriais:
  • Para k=0:
\Pr(X=0)=e^{-7}\,\frac{7^{0}}{0!}=e^{-7}\cdot\frac{1}{1}=e^{-7}.
  • Para k=1:
\Pr(X=1)=e^{-7}\,\frac{7^{1}}{1!}=e^{-7}\cdot 7=7e^{-7}.
  • Para k=2:
\Pr(X=2)=e^{-7}\,\frac{7^{2}}{2!}=e^{-7}\cdot\frac{49}{2}=\frac{49}{2}\,e^{-7}=24{,}5\,e^{-7}.

Passo 5

Agora vamos avaliar numericamente os três termos. Primeiro uma aproximação de e^{-7}.
  • e^{7}\approx 1096{,}633158, logo
e^{-7}=\frac{1}{e^{7}}\approx 0{,}0009118819655545.
(uso essa aproximação padrão para e^{-7}.)

Passo 6

Calcular cada termo multiplicando por e^{-7}:
  • \Pr(X=0)=e^{-7}\approx 0{,}0009118819655545.
  • \Pr(X=1)=7e^{-7}\approx 7\cdot 0{,}0009118819655545 \approx 0{,}0063831737598815.
  • \Pr(X=2)=24{,}5\,e^{-7}\approx 24{,}5\cdot 0{,}0009118819655545 \approx 0{,}0223411081560856.
Mostrei as multiplicações passo a passo para que dê para refazer: multiplicar por 7 ou por 24{,}5 é só escalar a aproximação de e^{-7}.

Passo 7

Somar os três termos para obter a probabilidade acumulada:
\Pr(X<3)=\Pr(X=0)+\Pr(X=1)+\Pr(X=2)\approx 0{,}0009118819655545+0{,}0063831737598815+0{,}0223411081560856.
Fazendo a soma passo a passo:
0{,}0009118819655545+0{,}0063831737598815=0{,}0072950557254360,
0{,}0072950557254360+0{,}0223411081560856=0{,}0296361638815216\\ (\text{aprox.}).

Passo 8

Interpretação e arredondamento final:
  • A probabilidade de ocorrerem menos do que três atos numa hora é aproximadamente 0{,}02964, ou seja, cerca de 2{,}964\%.
  • Em palavras: com média de 7 atos/hora, é pouco provável ter 0,1 ou 2 atos só — por isso o valor baixo.

Resposta

0,02964

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