A observação de atos de agressividade numa tribo de chimpanzés-pigmeus leva a crer que eles ocorrem de acordo com um processo de Poisson com taxa 7 atos/hora.
Qual é a probabilidade de numa hora ocorrerem menos do que três atos de agressividade?
Qual é a probabilidade de numa hora ocorrerem menos do que três atos de agressividade?
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e pede uma coisa clara:
- Taxa média de ocorrências:
atos por hora (peguei isso do enunciado). - Intervalo de tempo considerado: uma hora.
- Pergunta: qual é a probabilidade de ocorrerem menos do que três atos de agressividade numa hora? Ou seja, queremos
onde é o número de atos em uma hora.
Passo 2
Modelo adequado e definição:
- Para contar ocorrências raras por unidade de tempo com taxa média conhecida usa-se o processo de Poisson. Então
segue uma distribuição de Poisson com parâmetro . - A função massa de probabilidade (pmf) da Poisson é:
onde:
-
é a taxa média de ocorrências no intervalo (aqui ); -
é o número inteiro de ocorrências ( ); -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ); -
(fatorial) significa e .
Explicando em linguagem simples: cada probabilidade
é dada por multiplicar
por
e dividir por
. O fator
garante que as probabilidades somem 1.
Passo 3
Expressar a probabilidade pedida em termos da pmf:
- “Menos do que três” significa
. Então
Passo 4
Escrever cada termo do somatório separadamente e simplificar os fatoriais:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora vamos avaliar numericamente os três termos. Primeiro uma aproximação de
.
-
, logo
(uso essa aproximação padrão para
.)
Passo 6
Calcular cada termo multiplicando por
:
Mostrei as multiplicações passo a passo para que dê para refazer: multiplicar por
ou por
é só escalar a aproximação de
.
Passo 7
Somar os três termos para obter a probabilidade acumulada:
Fazendo a soma passo a passo:
Passo 8
Interpretação e arredondamento final:
- A probabilidade de ocorrerem menos do que três atos numa hora é aproximadamente
, ou seja, cerca de . - Em palavras: com média de
atos/hora, é pouco provável ter 0,1 ou 2 atos só — por isso o valor baixo.