A observação de atos de agressividade numa tribo de chimpanzés-pigmeus leva a crer que eles ocorrem de acordo com um processo de Poisson com taxa 7 atos/hora.
O que é a taxa de um processo de Poisson?
O que é a taxa de um processo de Poisson?
Passo 1
O enunciado dá a informação de que os atos de agressividade seguem um processo de Poisson com “taxa” igual a
atos por hora. A pergunta é: o que significa, concretamente, essa “taxa” num processo de Poisson?
Passo 2
Vamos começar com uma ideia intuitiva e simples: a “taxa” de um processo de Poisson é um número que diz quantos eventos, em média, ocorrem por unidade de tempo. Esse número costuma ser denotado por
. No enunciado temos
e a unidade é “atos por hora”, então a leitura direta é: em média ocorrem
atos por uma hora de observação.
Passo 3
Agora uma explicação um pouco mais formal, mas ainda amigável. Em um processo de Poisson com taxa
:
- O número de eventos ocorridos em um intervalo de tempo de comprimento
(por exemplo, horas) é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de média .
Aqui
é o número de eventos no intervalo,
é a taxa por unidade de tempo, e
é o comprimento do intervalo (na mesma unidade da taxa). A função de probabilidade de
é
Significados das letras:
é o número de eventos que queremos a probabilidade,
é o valor médio esperado de eventos nesse intervalo, e
é o fatorial de
.
Passo 4
Propriedades úteis que vêm daí (importantes para prova e interpretação):
- Valor esperado:
. Ou seja, em média há eventos em unidades de tempo. - Variância:
(a variância é igual à média para Poisson). - Incrementos independentes e estacionários: o número de eventos em intervalos disjuntos são independentes, e a distribuição depende apenas do comprimento do intervalo, não de quando ele começa.
- Os tempos entre eventos consecutivos (intervalos entre chegadas) são variáveis aleatórias
. A densidade de tempo entre eventos é
e o tempo médio entre eventos é
.
Passo 5
Aplicando essas ideias ao caso concreto
atos/hora:
- Em um intervalo de
horas, o número esperado de atos é . - A variância do número de atos em
horas também é . - O tempo médio entre dois atos consecutivos é
horas, isto é .
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar (mostrando como usar a taxa na prova):
- Probabilidade de nenhum ato em meia hora (
h): primeiro calcula-se . Então
- Probabilidade de exatamente
atos em uma hora ( h) é
Esses são usos diretos da definição — na prova normalmente pedem calcular probabilidades desse tipo ou usar a relação média/variância/inter-arrival.
Passo 7
Resumo prático e mental para a prova (como você deve interpretar e citar): quando disserem “processo de Poisson com taxa
atos/hora”, pense sempre:
- “Em média,
atos por cada hora observada.” - “Número de atos em
horas tem Poisson com média .” - “Tempos entre atos são exponenciais com média
hora.”
Passo 8
Fica a dica de estudo: decore a relação central
e a conexão com a exponencial dos tempos entre eventos. Com isso você resolve a maioria das questões de Poisson rapidamente. Força — você dá conta!
Resposta
A taxa é
atos por hora: é o número médio esperado de atos por unidade de tempo (ou seja, em
horas espera‑se
atos), que parametriza a distribuição
e implica tempos entre atos exponenciais com média
.