A observação de atos de agressividade numa tribo de chimpanzés-pigmeus leva a crer que eles ocorrem de acordo com um processo de Poisson com taxa 7 atos/hora.
O que é a taxa de um processo de Poisson?

Passo 1

O enunciado dá a informação de que os atos de agressividade seguem um processo de Poisson com “taxa” igual a 7 atos por hora. A pergunta é: o que significa, concretamente, essa “taxa” num processo de Poisson?

Passo 2

Vamos começar com uma ideia intuitiva e simples: a “taxa” de um processo de Poisson é um número que diz quantos eventos, em média, ocorrem por unidade de tempo. Esse número costuma ser denotado por \lambda. No enunciado temos \lambda=7 e a unidade é “atos por hora”, então a leitura direta é: em média ocorrem 7 atos por uma hora de observação.

Passo 3

Agora uma explicação um pouco mais formal, mas ainda amigável. Em um processo de Poisson com taxa \lambda:
  • O número de eventos ocorridos em um intervalo de tempo de comprimento t (por exemplo, t horas) é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de média \lambda t.
N(t)\sim\text{Poisson}(\lambda t).
Aqui N(t) é o número de eventos no intervalo, \lambda é a taxa por unidade de tempo, e t é o comprimento do intervalo (na mesma unidade da taxa). A função de probabilidade de N(t) é
P\big(N(t)=k\big)=\frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!},\qquad k=0,1,2,\dots
Significados das letras: k é o número de eventos que queremos a probabilidade, \lambda t é o valor médio esperado de eventos nesse intervalo, e k! é o fatorial de k.

Passo 4

Propriedades úteis que vêm daí (importantes para prova e interpretação):
  • Valor esperado: \mathbb{E}[N(t)]=\lambda t. Ou seja, em média há \lambda t eventos em t unidades de tempo.
  • Variância: \mathrm{Var}[N(t)]=\lambda t (a variância é igual à média para Poisson).
  • Incrementos independentes e estacionários: o número de eventos em intervalos disjuntos são independentes, e a distribuição depende apenas do comprimento do intervalo, não de quando ele começa.
  • Os tempos entre eventos consecutivos (intervalos entre chegadas) são variáveis aleatórias \mathrm{Exponenciais}(\lambda). A densidade de tempo entre eventos é
f(s)=\lambda e^{-\lambda s},\qquad s\ge 0,
e o tempo médio entre eventos é \mathbb{E}[S]=1/\lambda.

Passo 5

Aplicando essas ideias ao caso concreto \lambda=7 atos/hora:
  • Em um intervalo de t horas, o número esperado de atos é \lambda t=7t.
  • A variância do número de atos em t horas também é 7t.
  • O tempo médio entre dois atos consecutivos é 1/\lambda=1/7 horas, isto é \dfrac{1}{7}\\ \text{h}\approx 0,142857\\ \text{h}\approx 8,571\\ \text{min}.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar (mostrando como usar a taxa na prova):
  • Probabilidade de nenhum ato em meia hora ( t=0{,}5 h): primeiro calcula-se \lambda t=7\cdot 0{,}5=3{,}5. Então
P\big(N(0{,}5)=0\big)=e^{-3{,}5}\approx 0{,}0302.
  • Probabilidade de exatamente k atos em uma hora ( t=1 h) é
P\big(N(1)=k\big)=\frac{7^k e^{-7}}{k!}.
Esses são usos diretos da definição — na prova normalmente pedem calcular probabilidades desse tipo ou usar a relação média/variância/inter-arrival.

Passo 7

Resumo prático e mental para a prova (como você deve interpretar e citar): quando disserem “processo de Poisson com taxa \lambda=7 atos/hora”, pense sempre:
  • “Em média, 7 atos por cada hora observada.”
  • “Número de atos em t horas tem Poisson com média 7t.”
  • “Tempos entre atos são exponenciais com média 1/7 hora.”

Passo 8

Fica a dica de estudo: decore a relação central \,N(t)\sim\text{Poisson}(\lambda t)\, e a conexão com a exponencial dos tempos entre eventos. Com isso você resolve a maioria das questões de Poisson rapidamente. Força — você dá conta!

Resposta

A taxa é \lambda=7 atos por hora: é o número médio esperado de atos por unidade de tempo (ou seja, em t horas espera‑se \lambda t=7t atos), que parametriza a distribuição \,N(t)\sim\text{Poisson}(\lambda t)\, e implica tempos entre atos exponenciais com média 1/\lambda.

Exercícios relacionados