Um observador avista uma lâmpada de 100 W a uma distancia de 1,5 \mathrm{Km}, determine o valor rms dos campos E e B que chegam até o observador, considerando a permeabilidade magnética do ar igual a 1,2566 \times 10^{-6} \mathrm{H} / \mathrm{m} \mathrm{e} que a velocidade da luz no ar é 0,03 \% menor que c .

Passo 1

Você tem uma lâmpada que emite P=100\\ \mathrm{W} de forma aproximadamente isotrópica e está a uma distância r=1,5\\ \mathrm{km}. O objetivo é encontrar os valores eficazes \mathrm{rms} dos campos elétrico \mathbf{E} e magnético \mathbf{B} dessa onda no ponto do observador. Vamos usar que a intensidade média (fluxo de Poynting) em ondas planas é
I = \frac{P}{4\pi r^2},
que para onda eletromagnética em meio homogêneo vale
I = \frac{E_{\rm rms}^2}{Z},
onde Z é a impedância característica do meio, e ainda
B_{\rm rms}=\frac{E_{\rm rms}}{v}.
Também usaremos que a velocidade da luz no ar é v=0,9997\,c e que \mu_{\rm ar}=1,2566\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.

Passo 2

Calcular a intensidade média em r=1{,}5\\ \mathrm{km}=1{,}5\times10^3\\ \mathrm{m}:
I = \frac{100}{4\pi\,(1{,}5\times10^3)^2} =\frac{100}{4\pi\cdot2{,}25\times10^6} \approx3{,}54\times10^{-6}\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 3

Determinar a velocidade da luz no ar e a impedância Z.
Como v=0{,}9997\,c e c=3{,}00\times10^8\\ \mathrm{m/s},
v\approx2{,}9991\times10^8\\ \mathrm{m/s}.
Em seguida, como em ondas eletromagnéticas planas Z=\sqrt{\mu/\varepsilon} e \varepsilon=1/(\mu v^2), obtém-se
Z=\mu\,v =1{,}2566\times10^{-6}\times2{,}9991\times10^8 \approx376{,}6\\ \Omega.

Passo 4

Usar I=E_{\rm rms}^2/Z para achar E_{\rm rms} e depois B_{\rm rms}=E_{\rm rms}/v:
E_{\rm rms} =\sqrt{I\,Z} =\sqrt{3{,}54\times10^{-6}\times376{,}6} \approx0{,}0365\\ \mathrm{V/m},
B_{\rm rms} =\frac{E_{\rm rms}}{v} =\frac{0{,}0365}{2{,}9991\times10^8} \approx1{,}22\times10^{-10}\\ \mathrm{T}.

Resposta

O valor eficaz do campo elétrico é
E_{\rm rms}\approx0{,}0365\\ \mathrm{V/m},
e o do campo magnético é
B_{\rm rms}\approx1{,}22\times10^{-10}\\ \mathrm{T}.

Exercícios relacionados