Um observador está parado na plataforma de uma estação ferroviária quando um trem de carga passa direto, sem parar, tocando sua buzina continuamente. A buzina emite uma onda sonora senoidal com frequência constante \mathrm{f}_{\mathrm{s}}=360 \mathrm{~Hz}. O ar está perfeitamente calmo e a velocidade do som no local é v =340 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Sabendo que o trem se afasta da estação com uma velocidade constante de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, qual é a frequência (fo) do som da buzina percebida pelo observador na plataforma após a passagem do trem?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a frequência percebida pelo observador parado na plataforma após o trem passar, ou seja, encontrar f_o.
Informações fornecidas (pegas do enunciado):
  • Frequência emitida pela buzina: f_s = 360\\ \mathrm{Hz}.
  • Velocidade do som no ar: v = 340\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade do trem (fonte) se afastando da estação: v_s = 20\\ \mathrm{m/s}.
  • O observador está em repouso relativo ao ar (velocidade do observador =0).

Passo 2

Entender a ideia física e a fórmula que vamos usar (aulas rápidas!).
  • O efeito Doppler para som descreve como a frequência percebida muda quando a fonte e/ou o observador estão em movimento.
  • Quando a fonte se afasta do observador, as cristas das ondas ficam mais espaçadas (o comprimento de onda aumenta) e, portanto, a frequência percebida diminui.
  • Podemos deduzir a fórmula de forma simples usando comprimento de onda e período:
    • A frequência emitida é f_s. O período é T=\dfrac{1}{f_s}.
    • Num meio em repouso, a velocidade de propagação é v e o comprimento de onda gerado por uma fonte estacionária seria \lambda=\dfrac{v}{f_s}.
    • Se a fonte se afasta com velocidade v_s, durante um período T a fonte desloca-se uma distância v_sT=\dfrac{v_s}{f_s}. Isso aumenta o espaçamento entre cristas; o novo comprimento de onda percebido é
    \lambda'=\lambda+\frac{v_s}{f_s}=\frac{v}{f_s}+\frac{v_s}{f_s}=\frac{v+v_s}{f_s}.
    • O observador, vendo ondas com velocidade v e comprimento de onda \lambda', percebe a frequência
    f_o=\frac{v}{\lambda'}=\frac{v}{\dfrac{v+v_s}{f_s}}=\frac{v}{v+v_s}\,f_s.
  • Resumindo: para observador estacionário e fonte se afastando, vale
f_o=\frac{v}{v+v_s}\,f_s,
onde:
  • f_o é a frequência observada,
  • v é a velocidade do som no meio,
  • v_s é a velocidade da fonte (positiva se a fonte se afasta),
  • f_s é a frequência emitida.

Passo 3

Aplicar a fórmula com os números do enunciado.
  • Primeiro escrevo a fórmula com os valores:
f_o=\frac{v}{v+v_s}\,f_s=\frac{340}{340+20}\cdot 360.
  • Calculo o denominador:
340+20=360.
  • Substituo:
f_o=\frac{340}{360}\cdot 360.
  • Podemos simplificar o 360 que aparece no numerador e no multiplicador:
f_o=340.
  • Escrevendo a unidade:
f_o=340\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

Interpretação física e checagem rápida.
  • A frequência percebida diminuiu de 360\\ \mathrm{Hz} para 340\\ \mathrm{Hz} porque a fonte está se afastando: isso faz as cristas chegarem com maior separação, reduzindo a frequência.
  • Checagem rápida: como v_s é pequeno comparado a v ( 20 vs 340), a queda da frequência é pequena — faz sentido num resultado de 360\to340\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Dica para a prova (memorização prática e segurança):
  • Para som, quando o observador está parado e a fonte se aproxima use f_o=\dfrac{v}{v-v_s}f_s (denominador diminui → f_o aumenta).
  • Quando a fonte se afasta use f_o=\dfrac{v}{v+v_s}f_s (denominador aumenta → f_o diminui).
  • Sempre atente ao sinal de v_s: positivo quando a fonte se afasta, negativo quando se aproxima. Isso evita erro de sinal na hora H.
  • Você pode fazer a dedução rápida via comprimento de onda como mostrado se esquecer a fórmula decorada — isso garante menos erro em prova.

Resposta

f_o = 340\\ \mathrm{Hz}

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