Um observador planeja usar um telescópio para resolver dois pontos numa montanha distante 160 km . Estes pontos estão separados por 2 m . Qual é o menor diâmetro possível da lente do telescópio para resolver estes dois pontos, supondo que a observação é feita com luz de comprimento de onda de 500 nm ?

Passo 1

O enunciado pede: qual é o menor diâmetro possível da lente do telescópio para que ele consiga resolver dois pontos separados por \,2\\ \text{m}\, numa montanha a \,160\\ \text{km}\,, usando luz de comprimento de onda \,500\\ \text{nm}\,.
Informações fornecidas:
\text{separação linear} \; s = 2\\ \text{m}çã
\text{distância ao objeto} \; L = 160\\ \text{km}â
\text{comprimento de onda} \; \lambda = 500\\ \text{nm}
A incógnita é o menor diâmetro da lente, que vou chamar de \,D.

Passo 2

Qual é o critério que define “resolver” dois pontos?
Quando a resolução é limitada pela difração de uma abertura circular (como a lente do telescópio), usamos o critério de Rayleigh: dois pontos são considerados resolvíveis se a separação angular entre eles for pelo menos igual ao ângulo correspondente ao primeiro mínimo do padrão de difração (disco de Airy). A fórmula do critério de Rayleigh para uma abertura circular é
\theta = 1{,}22\,\frac{\lambda}{D},
onde:
  • \theta é a resolução angular mínima (em radianos);
  • \lambda é o comprimento de onda da luz;
  • \,D é o diâmetro da abertura (lente).
    O fator 1{,}22 vem da primeira raiz da função de Bessel que descreve o disco de Airy (explicação qualitativa: a luz difratada por uma abertura circular forma um padrão com um máximo central e anéis; a posição do primeiro anel nulo dá esse fator).

Passo 3

Como ligar a resolução angular à separação linear entre os dois pontos vistos a uma certa distância?
Para pequenos ângulos usamos a aproximação de pequeno ângulo \sin\theta \approx \theta. A separação linear \,s\, e a distância \,L\, estão relacionadas por
\theta \approx \frac{s}{L}.
Aqui \theta é o pequeno ângulo subtendido pelos dois pontos vistos do observador.

Passo 4

Agora combinamos as duas fórmulas: a condição de resolução é \theta = 1{,}22\,\dfrac{\lambda}{D} e também \theta \approx \dfrac{s}{L}. Igualando:
\frac{s}{L} = 1{,}22\,\frac{\lambda}{D}.
Isolando D,
D = 1{,}22\,\frac{\lambda\,L}{s}.
Esta é a expressão que nos dá o diâmetro mínimo necessário para que a resolução angular causada pela difração seja suficiente para separar os dois pontos.

Passo 5

Convertemos todas as quantidades para o SI (metros):
\lambda = 500\\ \text{nm} = 500\times 10^{-9}\\ \text{m} = 5{,}00\times 10^{-7}\\ \text{m},
L = 160\\ \text{km} = 160\times 10^{3}\\ \text{m} = 1{,}60\times 10^{5}\\ \text{m},
s = 2\\ \text{m}.

Passo 6

Substituímos na fórmula D = 1{,}22\,\dfrac{\lambda\,L}{s} e fazemos as contas passo a passo:
D = 1{,}22\cdot\frac{5{,}00\times 10^{-7}\\ \text{m}\\ \times\\\ 1{,}60\times 10^{5}\\ \text{m}}{2\\ \text{m}}.
Primeiro o produto no numerador:
5{,}00\times 10^{-7}\times 1{,}60\times 10^{5} = (5{,}00\times 1{,}60)\times 10^{-7+5} = 8{,}00\times 10^{-2} = 0{,}08.
Multiplicando pelo fator 1{,}22:
1{,}22\times 0{,}08 = 0{,}0976.
Agora dividimos por s=2:
D = \frac{0{,}0976}{2} = 0{,}0488\\ \text{m}.

Passo 7

Interpretando o resultado em unidades mais familiares:
D = 0{,}0488\\ \text{m} = 4{,}88\\ \text{cm} \approx 4{,}9\\ \text{cm}.
Verificação rápida da validade da aproximação de pequeno ângulo: \theta \approx s/L = 2/160000 = 1{,}25\times 10^{-5}\\ \text{rad}, que é pequeno (≈ 2{,}6 segundos de arco), portanto a aproximação \sin\theta\approx\theta é válida.
Observação prática (importante para a prova): este resultado é o limite imposto pela difração (condição ideal). Na observação real a atmosfera (turbulência/seeing) frequentemente impõe uma resolução pior (maior), então na prática pode ser necessário um diâmetro maior ou técnicas de correção adaptativa. Mas para este exercício usamos exclusivamente o limite de difração pedido.

Resposta

4{,}88\times 10^{-2}\\ \text{m} \;=\; 4{,}88\\ \text{cm} \;(\approx 4{,}9\\ \text{cm})

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