Um observador planeja usar um telescópio para resolver dois pontos numa montanha distante 160 km . Estes pontos estão separados por 2 m . Qual é o menor diâmetro possível da lente do telescópio para resolver estes dois pontos, supondo que a observação é feita com luz de comprimento de onda de 500 nm ?
Passo 1
O enunciado pede: qual é o menor diâmetro possível da lente do telescópio para que ele consiga resolver dois pontos separados por
numa montanha a
, usando luz de comprimento de onda
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
A incógnita é o menor diâmetro da lente, que vou chamar de
.
Passo 2
Qual é o critério que define “resolver” dois pontos?
Quando a resolução é limitada pela difração de uma abertura circular (como a lente do telescópio), usamos o critério de Rayleigh: dois pontos são considerados resolvíveis se a separação angular entre eles for pelo menos igual ao ângulo correspondente ao primeiro mínimo do padrão de difração (disco de Airy). A fórmula do critério de Rayleigh para uma abertura circular é
Quando a resolução é limitada pela difração de uma abertura circular (como a lente do telescópio), usamos o critério de Rayleigh: dois pontos são considerados resolvíveis se a separação angular entre eles for pelo menos igual ao ângulo correspondente ao primeiro mínimo do padrão de difração (disco de Airy). A fórmula do critério de Rayleigh para uma abertura circular é
onde:
-
é a resolução angular mínima (em radianos); -
é o comprimento de onda da luz; -
é o diâmetro da abertura (lente).
O fatorvem da primeira raiz da função de Bessel que descreve o disco de Airy (explicação qualitativa: a luz difratada por uma abertura circular forma um padrão com um máximo central e anéis; a posição do primeiro anel nulo dá esse fator).
Passo 3
Como ligar a resolução angular à separação linear entre os dois pontos vistos a uma certa distância?
Para pequenos ângulos usamos a aproximação de pequeno ângulo . A separação linear
e a distância
estão relacionadas por
Para pequenos ângulos usamos a aproximação de pequeno ângulo
Aqui
é o pequeno ângulo subtendido pelos dois pontos vistos do observador.
Passo 4
Agora combinamos as duas fórmulas: a condição de resolução é
e também
. Igualando:
Isolando
,
Esta é a expressão que nos dá o diâmetro mínimo necessário para que a resolução angular causada pela difração seja suficiente para separar os dois pontos.
Passo 5
Convertemos todas as quantidades para o SI (metros):
Passo 6
Substituímos na fórmula
e fazemos as contas passo a passo:
Primeiro o produto no numerador:
Multiplicando pelo fator
:
Agora dividimos por
:
Passo 7
Interpretando o resultado em unidades mais familiares:
Verificação rápida da validade da aproximação de pequeno ângulo:
, que é pequeno (≈
segundos de arco), portanto a aproximação
é válida.
Observação prática (importante para a prova): este resultado é o limite imposto pela difração (condição ideal). Na observação real a atmosfera (turbulência/seeing) frequentemente impõe uma resolução pior (maior), então na prática pode ser necessário um diâmetro maior ou técnicas de correção adaptativa. Mas para este exercício usamos exclusivamente o limite de difração pedido.