A Lua está aproximadamente a 4000000 km da Terra. Considere um telescópio na superfície terrestre que tenha uma lente com 15 cm de diâmetro. Suponha que você está observando em condições ideais e com luz de comprimento de onda de 700 nm .
a) Duas crateras lunares distantes 50 km uma da outra, podem ser resolvidas por este telescópio?
b) E as crateras distantes 1 km uma da outra, também podem ser resolvidas?

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas claramente:
  1. Se duas crateras lunares separadas por 50\\ \mathrm{km} podem ser resolvidas pelo telescópio.
  2. Se duas crateras lunares separadas por 1\\ \mathrm{km} podem ser resolvidas pelo mesmo telescópio.
Informações dadas no enunciado que usaremos:
  • distância Terra–Lua: L = 4{,}000{,}000\\ \mathrm{km} (vou usar exatamente esse valor fornecido);
  • diâmetro da lente do telescópio: D = 15\\ \mathrm{cm};
  • comprimento de onda da luz observada: \lambda = 700\\ \mathrm{nm}.
    Estas são todas as informações relevantes.

Passo 2

Qual é a regra para saber se duas coisas são “resolvíveis”?
Em óptica, quando a resolução é limitada pela difração (caso ideal, sem atmosfera nem imperfeições), usamos o critério de Rayleigh para uma abertura circular: a menor separação angular que consegue distinguir dois pontos é aproximadamente
\theta_{\text{min}} = 1{,}22\,\frac{\lambda}{D}.
Explicação do que cada símbolo significa:
  • \theta_{\text{min}} é a resolução angular mínima (em radianos). Se dois objetos têm separação angular maior que isso, teoricamente o telescópio consegue distingui-los.
  • \lambda é o comprimento de onda da luz usada (em metros).
  • D é o diâmetro da abertura (lente) do telescópio (em metros).
    O fator 1{,}22 vem da posição do primeiro mínimo da função de difração de uma abertura circular (Bessel), mas não precisamos derivá-lo agora — basta aplicar a fórmula.

Passo 3

Vamos primeiro colocar tudo nas mesmas unidades (metros), para poder aplicar a fórmula sem erro:
  • diâmetro: D = 15\\ \mathrm{cm} = 0{,}15\\ \mathrm{m};
  • comprimento de onda: \lambda = 700\\ \mathrm{nm} = 700\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 7{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{m};
  • distância Terra–Lua: L = 4{,}000{,}000\\ \mathrm{km} = 4{,}000{,}000\times10^{3}\\ \mathrm{m} = 4{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calculemos a resolução angular mínima \theta_{\text{min}} usando a fórmula de Rayleigh:
\theta_{\text{min}} = 1{,}22\,\frac{\lambda}{D} = 1{,}22\cdot\frac{7{,}0\times10^{-7}}{0{,}15}.
Faço o quociente primeiro:
\frac{7{,}0\times10^{-7}}{0{,}15} = 4{,}666\overline{6}\times10^{-6}\\ \mathrm{rad}.
Agora multiplico por 1{,}22:
\theta_{\text{min}} \approx 1{,}22\cdot 4{,}666\overline{6}\times10^{-6} \approx 5{,}69\times10^{-6}\\ \mathrm{rad}.

Passo 5

Agora convertemos essa resolução angular em separação linear mínima na superfície lunar. Para pequenos ângulos usamos a aproximação ângulo-pequeno (válida aqui):
s_{\text{min}} \approx L\cdot \theta_{\text{min}},
onde s_{\text{min}} é a menor distância linear (no alvo, aqui a Lua) que o telescópio consegue distinguir.

Passo 6

Calculemos s_{\text{min}}:
s_{\text{min}} = 4{,}0\times10^{9}\cdot 5{,}69\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Multiplicando:
s_{\text{min}} \approx 2{,}2773\times10^{4}\\ \mathrm{m} = 2{,}28\times10^{4}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para quilômetros:
s_{\text{min}} \approx 22{,}8\\ \mathrm{km}.
Interpretação: sob condições ideais e limitado apenas pela difração, o telescópio só consegue separar dois pontos na Lua se eles estiverem separados por mais de aproximadamente 22{,}8\\ \mathrm{km}.

Passo 7

Comparemos com os dois casos do enunciado:
  • Caso (a): separação =50\\ \mathrm{km}. Como 50\\ \mathrm{km} > 22{,}8\\ \mathrm{km}, a separação é maior que o limite de resolução, logo as crateras podem ser resolvidas (teoricamente).
  • Caso (b): separação =1\\ \mathrm{km}. Como 1\\ \mathrm{km} < 22{,}8\\ \mathrm{km}, a separação é muito menor que o limite de resolução, logo as crateras não podem ser resolvidas por esse telescópio.
Observação rápida e encorajadora: na prática a atmosfera da Terra costuma degradar ainda mais a resolução (seeing), então um telescópio pequeno como esse teria ainda mais dificuldade; mas o enunciado pediu condições ideais, então usamos o limite de difração.

Resposta

a) Sim.
b) Não.

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