A Lua está aproximadamente a 4000000 km da Terra. Considere um telescópio na superfície terrestre que tenha uma lente com 15 cm de diâmetro. Suponha que você está observando em condições ideais e com luz de comprimento de onda de 700 nm .
a) Duas crateras lunares distantes 50 km uma da outra, podem ser resolvidas por este telescópio?
b) E as crateras distantes 1 km uma da outra, também podem ser resolvidas?
a) Duas crateras lunares distantes 50 km uma da outra, podem ser resolvidas por este telescópio?
b) E as crateras distantes 1 km uma da outra, também podem ser resolvidas?
Passo 1
O enunciado pergunta duas coisas claramente:
- Se duas crateras lunares separadas por
podem ser resolvidas pelo telescópio. - Se duas crateras lunares separadas por
podem ser resolvidas pelo mesmo telescópio.
Informações dadas no enunciado que usaremos:
- distância Terra–Lua:
(vou usar exatamente esse valor fornecido); - diâmetro da lente do telescópio:
; - comprimento de onda da luz observada:
.
Estas são todas as informações relevantes.
Passo 2
Qual é a regra para saber se duas coisas são “resolvíveis”?
Em óptica, quando a resolução é limitada pela difração (caso ideal, sem atmosfera nem imperfeições), usamos o critério de Rayleigh para uma abertura circular: a menor separação angular que consegue distinguir dois pontos é aproximadamente
Explicação do que cada símbolo significa:
-
é a resolução angular mínima (em radianos). Se dois objetos têm separação angular maior que isso, teoricamente o telescópio consegue distingui-los. -
é o comprimento de onda da luz usada (em metros). -
é o diâmetro da abertura (lente) do telescópio (em metros).
O fatorvem da posição do primeiro mínimo da função de difração de uma abertura circular (Bessel), mas não precisamos derivá-lo agora — basta aplicar a fórmula.
Passo 3
Vamos primeiro colocar tudo nas mesmas unidades (metros), para poder aplicar a fórmula sem erro:
- diâmetro:
; - comprimento de onda:
; - distância Terra–Lua:
Passo 4
Calculemos a resolução angular mínima
usando a fórmula de Rayleigh:
Faço o quociente primeiro:
Agora multiplico por
:
Passo 5
Agora convertemos essa resolução angular em separação linear mínima na superfície lunar. Para pequenos ângulos usamos a aproximação ângulo-pequeno (válida aqui):
onde
é a menor distância linear (no alvo, aqui a Lua) que o telescópio consegue distinguir.
Passo 6
Calculemos
:
Multiplicando:
Convertendo para quilômetros:
Interpretação: sob condições ideais e limitado apenas pela difração, o telescópio só consegue separar dois pontos na Lua se eles estiverem separados por mais de aproximadamente
.
Passo 7
Comparemos com os dois casos do enunciado:
- Caso (a): separação
. Como , a separação é maior que o limite de resolução, logo as crateras podem ser resolvidas (teoricamente). - Caso (b): separação
. Como , a separação é muito menor que o limite de resolução, logo as crateras não podem ser resolvidas por esse telescópio.
Observação rápida e encorajadora: na prática a atmosfera da Terra costuma degradar ainda mais a resolução (seeing), então um telescópio pequeno como esse teria ainda mais dificuldade; mas o enunciado pediu condições ideais, então usamos o limite de difração.
Resposta
a) Sim.
b) Não.
b) Não.