Uma rede de difração tendo 8000 ranhuras/cm é iluminada por luz com comprimento de onda de 589 nm . Quais são todas as ordens observadas e em que ângulos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado abaixo:
  • Dados fornecidos:
    • Número de ranhuras: 8000 ranhuras por cm.
    • Comprimento de onda: \lambda = 589\\ \text{nm}.
  • Perguntas:
    • Quais ordens m serão observadas (todos os inteiros possíveis)?
    • Em que ângulos \theta (em relação à normal) essas ordens aparecem?

Passo 2

Primeiro precisamos transformar o dado de ranhuras por centímetro em espaçamento entre ranhuras d (distância entre ranhuras adjacentes) em metros, pois a fórmula da rede usa unidades do SI.
  • Converter ranhuras por cm para ranhuras por metro: 8000\\ \text{ranhuras/cm} = 8000 \times 100 = 800000\\ \text{ranhuras/m}.
  • O espaçamento d é o inverso do número de ranhuras por metro: d = \frac{1}{800000}\\ \text{m} = 1{,}25\times 10^{-6}\\ \text{m}.
  • Também é útil em nm: d = 1250\\ \text{nm}.

Passo 3

Agora a fórmula que relaciona ordem, ângulo e comprimento de onda para uma rede de difração (condição de máximos construtivos) é:
d\sin\theta = m\lambda,
onde:
  • d é o espaçamento entre ranhuras (m),
  • \theta é o ângulo de difração medido a partir da normal,
  • m é a ordem do máximo (um número inteiro: 0,\pm1,\pm2,\ldots),
  • \lambda é o comprimento de onda da luz (m).
Breve explicação física (intuição): cada ranhura age como uma fonte secundária; para que as ondas vindas de ranhuras adjacentes interfiram construtivamente em direção \theta, a diferença de caminho d\sin\theta deve ser um múltiplo inteiro de \lambda.

Passo 4

Determinar quais ordens são possíveis: como |\sin\theta|\le 1, temos
|m| \le \frac{d}{\lambda}.
Calculando \dfrac{d}{\lambda} com os valores numéricos:
\frac{d}{\lambda}=\frac{1{,}25\times10^{-6}}{589\times10^{-9}}=\frac{1{,}25}{0{,}589}\approx 2{,}12.
Como m deve ser inteiro, os valores possíveis são
m=0,\pm1,\pm2.
Ordens com |m|\ge 3 não são observáveis porque exigiriam |\sin\theta|>1.

Passo 5

Calcular os ângulos \theta usando \sin\theta = \dfrac{m\lambda}{d}. Vou calcular numericamente para cada ordem observável.
  • Ordem m=0:
    \sin\theta = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0^\circ.
  • Ordem m=\pm1:
    \sin\theta = \frac{1\cdot 589\times10^{-9}}{1{,}25\times10^{-6}} = \frac{589}{1250} = 0{,}4712.
\theta = \arcsin(0{,}4712) \approx 28{,}1^\circ.
Como a rede é simétrica, existem dois máximos: \theta \approx +28{,}1^\circ (para m=+1) e \theta \approx -28{,}1^\circ (para m=-1).
  • Ordem m=\pm2: \sin\theta = \frac{2\cdot 589\times10^{-9}}{1{,}25\times10^{-6}} = \frac{1178}{1250} = 0{,}9424.
\theta = \arcsin(0{,}9424) \approx 70{,}4^\circ.
Novamente há dois máximos: \theta \approx +70{,}4^\circ (para m=+2) e \theta \approx -70{,}4^\circ (para m=-2).

Resposta

m=0:\\ \theta=0^\circ
m=+1:\\ \theta\approx+28{,}1^\circ
m=-1:\\ \theta\approx-28{,}1^\circ
m=+2:\\ \theta\approx+70{,}4^\circ
m=-2:\\ \theta\approx-70{,}4^\circ

Exercícios relacionados