Um observador em uma planície vê ao longe uma montanha segundo um ângulo
formado por um topo na montanha, o observador e o plano horizontal. Após caminhar uma distância
em direção à montanha, ele passa a vê-la segundo um ângulo
. Determine a altura da montanha em função de
e
.
Passo 1
A questão pede a altura de uma montanha vista por um observador que mede dois ângulos de elevação, primeiro
e depois
, após caminhar uma distância
em linha reta em direção à montanha. O conteúdo principal é trigonometria de triângulo retângulo, em particular a definição de tangente como razão entre altura e distância horizontal.
Passo 2
Chamamos de
a distância horizontal inicial do observador até o pé da montanha. Então, no primeiro ponto, o ângulo de elevação é
, logo
Passo 3
Depois de caminhar
, a distância horizontal até a montanha passa a ser
e o ângulo de elevação é
. Assim,
Passo 4
Agora temos duas expressões para
:
Passo 5
Igualamos essas duas fórmulas:
Passo 6
Distribuímos e isolamos
:
Passo 7
Por fim, substituímos essa expressão de
em
para obter a altura da montanha.