Um observador em uma planície vê ao longe uma montanha segundo um ângulo alpha formado por um topo na montanha, o observador e o plano horizontal. Após caminhar uma distância d em direção à montanha, ele passa a vê-la segundo um ângulo beta. Determine a altura da montanha em função de alpha, beta e d.

Passo 1

A questão pede a altura de uma montanha vista por um observador que mede dois ângulos de elevação, primeiro alpha e depois beta, após caminhar uma distância d em linha reta em direção à montanha. O conteúdo principal é trigonometria de triângulo retângulo, em particular a definição de tangente como razão entre altura e distância horizontal.

Passo 2

Chamamos de x a distância horizontal inicial do observador até o pé da montanha. Então, no primeiro ponto, o ângulo de elevação é alpha, logo
tan(alpha)=Hx

Passo 3

Depois de caminhar d, a distância horizontal até a montanha passa a ser x-d e o ângulo de elevação é beta. Assim,
tan(beta)=Hx-d

Passo 4

Agora temos duas expressões para H:
H=xtan(alpha)e H=(x-d)tan(beta)

Passo 5

Igualamos essas duas fórmulas:
xtan(alpha)=(x-d)tan(beta)

Passo 6

Distribuímos e isolamos x:
xtan(alpha)=xtan(beta)-dtan(beta)
x(tan(beta)-tan(alpha))=dtan(beta)
x=d,tan(beta)tan(beta)-tan(alpha)

Passo 7

Por fim, substituímos essa expressão de x em H=xtan(alpha) para obter a altura da montanha.
H=d,tan(beta)tan(beta)-tan(alpha);tan(alpha)=d,tan(alpha),tan(beta)tan(beta)-tan(alpha)

Resposta

H=d,tan(alpha),tan(beta)tan(beta)-tan(alpha)

Exercícios relacionados